Calcule as integrais abaixo utilizando o método mais adequado:
(h)
(Resposta:
(h)
Passo 1
Beleza! Vamos resolver a integral
. O conteúdo aqui envolve cálculo integral e, mais especificamente, integração por partes. Para isso, vamos precisar entender a fórmula da integração por partes, que é dada por $ \int u , dv = u v - \int v , du $, onde escolhemos
e
de forma que fiquem fáceis de derivar e integrar.
Passo 2
Para aplicar a integração por partes, precisamos escolher
e
. Aqui, uma boa escolha é:
-
, o que nos dá (usamos a regra da cadeia para derivar). -
, o que nos dá .
Agora, podemos substituir esses valores na fórmula da integração por partes:
Isso simplifica para:
Passo 3
Agora, temos que calcular
. Usamos novamente a integração por partes. Para fazer isso, vamos escolher:
-
, então . -
, então .
Substituindo na fórmula de integração por partes:
Simplificando isso dá:
Aqui,
é a constante de integração que sempre devemos incluir nas nossas soluções.
Passo 4
Agora, vamos voltar à integral original. Substituímos o resultado de
na expressão da integral que temos até agora:
Ajustando isso, obtemos:
Como
é uma constante de integração, esse
também é uma constante, e podemos simplesmente chamá-la de
.
Resposta
Assim, a resposta final é: