Calcule as integrais abaixo utilizando o método mais adequado:
(h) integral(ln (x))^2 d x (Resposta: x ln ^2(x)-2(x ln (x)-x)+C)

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a integral integral(ln(x))^2 d x. O conteúdo aqui envolve cálculo integral e, mais especificamente, integração por partes. Para isso, vamos precisar entender a fórmula da integração por partes, que é dada por $ \int u , dv = u v - \int v , du $, onde escolhemos integral u , dv = u v - integral v , du e u de forma que fiquem fáceis de derivar e integrar.

Passo 2

Para aplicar a integração por partes, precisamos escolher u e dv. Aqui, uma boa escolha é:
  • u = (ln(x))^2, o que nos dá du = 2 ln(x) cdot 1x , dx (usamos a regra da cadeia para derivar).
  • dv = dx, o que nos dá v = x.
Agora, podemos substituir esses valores na fórmula da integração por partes:
integral(ln(x))^2 d x = x cdot (ln(x))^2 - integral x cdot 2 ln(x) cdot 1x , dx
Isso simplifica para:
integral(ln(x))^2 d x = x (ln(x))^2 - 2 integral ln(x) , dx

Passo 3

Agora, temos que calcular integral ln(x) , dx. Usamos novamente a integração por partes. Para fazer isso, vamos escolher:
  • u = ln(x), então du = 1x , dx.
  • dv = dx, então v = x.
Substituindo na fórmula de integração por partes:
integral ln(x) , dx = x ln(x) - integral x cdot 1x , dx
Simplificando isso dá:
integral ln(x) , dx = x ln(x) - integral 1 , dx = x ln(x) - x + C
Aqui, C é a constante de integração que sempre devemos incluir nas nossas soluções.

Passo 4

Agora, vamos voltar à integral original. Substituímos o resultado de integral ln(x) , dx na expressão da integral que temos até agora:
integral(ln(x))^2 d x = x (ln(x))^2 - 2 (x ln(x) - x + C)
Ajustando isso, obtemos:
integral(ln(x))^2 d x = x (ln(x))^2 - 2x ln(x) + 2x - 2C
Como C é uma constante de integração, esse -2C também é uma constante, e podemos simplesmente chamá-la de C'.

Resposta

Assim, a resposta final é:
integral(ln(x))^2 d x = x ln^2(x) - 2(x ln(x) - x) + C

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