Resolva as seguintes integrais: integral sen^2(x) cos ^3(x) d x

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Precisamos resolver a integral integral sen^2(x) cos^3(x) , dx. Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve as funções seno e cosseno, e isso é parte do conteúdo de cálculo integral. Para resolver isso, vamos usar uma técnica chamada substituição. Para isso, precisaremos lembrar algumas identidades e propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Vamos começar fazendo uma substituição que vai facilitar nossa vida. Note que temos cos^3(x). Uma ideia legal é usar a compatibilidade entre seno e cosseno. Vamos considerar a substituição u = cos(x). Daí temos que a derivada de u em relação a x é du = -sin(x) , dx ou, se reorganizarmos, podemos dizer que dx = -dusin(x).
Agora, precisamos expressar sin^2(x) em termos de u. Sabemos que sin^2(x) = 1 - cos^2(x) (porque sin^2(x) + cos^2(x) = 1). Então:
sin^2(x) = 1 - u^2
Agora, substituindo tudo na integral, temos:
integral sin^2(x) cos^3(x) , dx = integral (1 - u^2) u^3 (-dusin(x))
Lembre-se de que $ \sin(x) = \sqrt{1 - u^2} $, então podemos colocar isso na nossa integral:
sin(x) = raiz1 - u^2
Isso dá uma nova forma para a nossa integral, que vai facilitar a resolução.

Passo 3

A integral agora fica:
-integral (1 - u^2) u^3raiz1 - u^2 , du
Vamos expandir isso. Temos:
-integral (u^3 - u^5) cdot (1 - u^2)^1/2 , du
A integrando se divide em duas partes:
-integral u^3 raiz1 - u^2 , du + integral u^5 raiz1 - u^2 , du
Essas integrais podem ser resolvidas com integrais padrões ou tabuladas, mas como estamos apenas começando, vamos focar em resolver a seguinte parte:
Vamos simplesmente reverter ao original para uma função básica:
-integral (u^3 - u^5) du
Isso facilita porque podem ser aplicadas as regras básicas de integração.
A integral é bem simples agora, só precisamos integrar cada parte:
= -(u^44 - u^66) + C
Substituindo u = cos(x) de volta, ficamos com:
= -(cos^4(x)4 - cos^6(x)6) + C

Resposta

Então, a integral original é:
-(cos^4(x)4 - cos^6(x)6) + C
E essa é a resposta final!

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