Resolva as seguintes integrais:
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Precisamos resolver a integral
. Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve as funções seno e cosseno, e isso é parte do conteúdo de cálculo integral. Para resolver isso, vamos usar uma técnica chamada substituição. Para isso, precisaremos lembrar algumas identidades e propriedades das funções trigonométricas.
Passo 2
Vamos começar fazendo uma substituição que vai facilitar nossa vida. Note que temos
. Uma ideia legal é usar a compatibilidade entre seno e cosseno. Vamos considerar a substituição
. Daí temos que a derivada de
em relação a
é
ou, se reorganizarmos, podemos dizer que
.
Agora, precisamos expressar
em termos de
. Sabemos que
(porque
). Então:
Agora, substituindo tudo na integral, temos:
Lembre-se de que $ \sin(x) = \sqrt{1 - u^2} $, então podemos colocar isso na nossa integral:
Isso dá uma nova forma para a nossa integral, que vai facilitar a resolução.
Passo 3
A integral agora fica:
Vamos expandir isso. Temos:
A integrando se divide em duas partes:
Essas integrais podem ser resolvidas com integrais padrões ou tabuladas, mas como estamos apenas começando, vamos focar em resolver a seguinte parte:
Vamos simplesmente reverter ao original para uma função básica:
Isso facilita porque podem ser aplicadas as regras básicas de integração.
A integral é bem simples agora, só precisamos integrar cada parte:
Substituindo
de volta, ficamos com:
Resposta
Então, a integral original é:
E essa é a resposta final!