Calcule.
integral x(ln x)^2 d x

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para calcular a integral integral x (ln x)^2 , dx. Aqui, estamos trabalhando com integrais, que são uma parte fundamental do cálculo. Para resolver essa integral, vamos precisar utilizar uma técnica chamada “integração por partes”. Essa técnica é muito útil quando lidamos com produtos de funções, como é o nosso caso.

Passo 2

A fórmula da integração por partes é dada por:
integral u , dv = uv - integral v , du
Agora, precisamos escolher nossas funções u e dv. Uma boa prática é escolher u como a parte que tende a simplificar-se quando derivada. Neste caso, vamos escolher:
  • u = (ln x)^2, o que significa que vamos derivar essa parte.
  • dv = x , dx, que é a parte que vamos integrar.
Agora, precisamos calcular du e v:
  • Para encontrar du, derivamos u:
du = 2 (ln x) cdot 1x , dx = 2 ln xx , dx
  • Para encontrar v, integramos dv:
v = integral x , dx = x^22

Passo 3

Agora que temos tudo, vamos aplicar a fórmula da integração por partes:
integral x (ln x)^2 , dx = uv - integral v , du
Substituindo u, v, du:
= (x^22 (ln x)^2) - integral (x^22) cdot (2 ln xx) , dx
Simplificando essa parte, temos:
= x^22 (ln x)^2 - integral x ln x , dx

Passo 4

Agora precisamos calcular a integral integral x ln x , dx. Vamos aplicar novamente a integração por partes, escolhendo:
  • u = ln x e dv = x , dx.
Derivando e integrando, temos:
  • du = 1x , dx
  • v = x^22
Aplicando a integração por partes de novo:
integral x ln x , dx = (x^22 ln x) - integral (x^22) cdot 1x , dx
Isso simplifica para:
= x^22 ln x - integral x^22 cdot 1x , dx = x^22 ln x - integral x2 , dx
Agora, vamos calcular integral x2 , dx:
integral x2 , dx = 12 cdot x^22 = x^24
Logo, temos que:
integral x ln x , dx = x^22 ln x - x^24

Passo 5

Agora vamos voltar à nossa integral original:
integral x (ln x)^2 , dx = x^22 (ln x)^2 - (x^22 ln x - x^24)
Isso resulta em:
= x^22 (ln x)^2 - x^22 ln x + x^24

Resposta

Assim, nossa integral fica:
integral x (ln x)^2 , dx = x^22 (ln x)^2 - x^22 ln x + x^24 + C
onde C é a constante de integração.

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