Calcule.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para calcular a integral
. Aqui, estamos trabalhando com integrais, que são uma parte fundamental do cálculo. Para resolver essa integral, vamos precisar utilizar uma técnica chamada “integração por partes”. Essa técnica é muito útil quando lidamos com produtos de funções, como é o nosso caso.
Passo 2
A fórmula da integração por partes é dada por:
Agora, precisamos escolher nossas funções
e
. Uma boa prática é escolher
como a parte que tende a simplificar-se quando derivada. Neste caso, vamos escolher:
-
, o que significa que vamos derivar essa parte. -
, que é a parte que vamos integrar.
Agora, precisamos calcular
e
:
- Para encontrar
, derivamos :
- Para encontrar
, integramos :
Passo 3
Agora que temos tudo, vamos aplicar a fórmula da integração por partes:
Substituindo
,
,
:
Simplificando essa parte, temos:
Passo 4
Agora precisamos calcular a integral
. Vamos aplicar novamente a integração por partes, escolhendo:
-
e .
Derivando e integrando, temos:
Aplicando a integração por partes de novo:
Isso simplifica para:
Agora, vamos calcular
:
Logo, temos que:
Passo 5
Agora vamos voltar à nossa integral original:
Isso resulta em:
Resposta
Assim, nossa integral fica:
onde
é a constante de integração.