Classifique as equações diferencias a seguir dizendo se elas são lineares ou nãolineares e determine sua ordem.
(1-x) y^prime prime-4 x y^prime+5 y=cos (x)

Passo 1

Vamos primeiro entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial dada por (1-x) y^prime prime-4 x y^prime+5 y=cos (x). O que precisamos fazer é classificar essa equação como linear ou não linear e também determinar a sua ordem. A ordem de uma equação diferencial é o maior derivado presente na equação. Para entender se a equação é linear ou não, vamos lembrar que uma equação é linear se as funções e suas derivadas aparecem apenas de forma linear, ou seja, sem serem multiplicadas entre si ou elevadas a alguma potência diferente de 1.

Passo 2

Agora vamos identificar os elementos da equação. Temos:
  • y^prime prime: a segunda derivada de y em relação a x.
  • y^prime: a primeira derivada de y em relação a x.
  • y: a função y que estamos tentando encontrar.
Precisamos observar se existem multiplicações entre y, y^prime e y^prime prime e também se há potências diferentes de 1. Na equação, a parte à esquerda, (1-x) y^prime prime-4 x y^prime+5 y, consiste de:
  1. O termo (1-x) y^prime prime: aqui, y^prime prime está multiplicado por uma função (1-x), mas isso não torna o termo não linear.
  2. O termo -4 x y^prime: semelhante ao anterior, y^prime é multiplicado por -4x, e isso também não é um produto que torna a equação não linear.
  3. O termo 5y: este é simplesmente uma multiplicação linear.
Como todos os termos com y, y^prime e y^prime prime estão em formas lineares e não há potências diferentes de 1, podemos dizer que a equação é linear.

Passo 3

Agora, precisamos determinar a ordem da equação. A ordem é simplesmente a maior derivada presente. Na nossa equação, temos:
  • A maior derivada é y^prime prime, que é a segunda derivada.
Portanto, a ordem da equação é 2.

Resposta

A equação diferencial (1-x) y^prime prime-4 x y^prime+5 y=cos (x) é linear e tem ordem 2.

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