Calcule a integral.
integral0^pi / 2 cos ^2 theta d theta

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para calcular a integral definida integral0^pi / 2 cos^2 theta , dtheta. Neste caso, estamos lidando com o cálculo de integrais, que é parte da matemática chamada Cálculo. Para resolver, precisaremos conhecer uma identidade para simplificar a função cos^2 theta, além das regras básicas de integração.

Passo 2

Uma das identidades úteis que podemos usar aqui é a identidade de metade:
cos^2 theta = 1 + cos(2theta)2
Essa fórmula nos permite transformar a integral, tornando-a mais fácil de resolver.
Agora, substituímos essa identidade na nossa integral:
integral0^pi / 2 cos^2 theta , dtheta = integral0^pi / 2 1 + cos(2theta)2 , dtheta
Podemos reescrever essa integral como duas partes, assim ficamos com:
integral0^pi / 2 12 , dtheta + integral0^pi / 2 cos(2theta)2 , dtheta

Passo 3

Agora, vamos calcular as duas integrais separadamente.
  1. Para a primeira parte:
integral0^pi / 2 12 , dtheta
Quando integramos uma constante, multiplicamos essa constante pelo intervalo da integral. O intervalo de 0 a pi2 tem um comprimento de pi2. Então, temos:
12 cdot pi2 = pi4
  1. Vamos para a segunda parte:
integral0^pi / 2 cos(2theta)2 , dtheta
Aqui, podemos usar a fórmula da integral de cos(kx), que é 1ksin(kx) + C. No nosso caso, k = 2. Assim, ficamos com:
12 cdot (12sin(2theta)) g|0^pi / 2 = 14 (sin(pi) - sin(0)) = 14 cdot (0 - 0) = 0

Passo 4

Agora, somamos os resultados das duas integrais:
pi4 + 0 = pi4

Resposta

Portanto, o valor da integral integral0^pi / 2 cos^2 theta , dtheta é pi4.

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