Calcule as integrais a seguir usando o método da substituição trigonométrica:
(b)
(Resposta:
(b)
Passo 1
Beleza, vamos calcular a integral
usando o método da substituição trigonométrica. Esse método é ótimo quando temos expressões quadráticas dentro de raízes, como aqui. Vamos precisar lembrar de algumas identidades trigonométricas básicas para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
. Isso nos lembra da forma
, que é perfeita para uma substituição trigonométrica. Vamos fazer a seguinte substituição:
Dessa forma, a expressão dentro da raiz fica:
Então, a raiz fica:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
em termos de
. Derivando a substituição
em relação a
, temos:
Substituindo tudo na integral original:
Passo 4
Para resolver
, usamos a identidade trigonométrica:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, precisamos voltar para a variável original
. Lembrando que fizemos a substituição
, então:
Isso implica que:
Além disso, usando a identidade
, temos:
E sabemos que
, então:
Passo 6
Substituindo tudo de volta na expressão da integral, temos:
Organizando os termos, fica:
Resposta
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(b)
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)
(f)
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(b) Resposta:
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