Calcule as integrais a seguir usando o método da substituição trigonométrica:
(b) integral raiz4-(x-1)^2 d x (Resposta: 12(x-1) raiz-x^2+2 x+3+2 sen^-1(x-12)+C)

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral usando o método da substituição trigonométrica. Esse método é ótimo quando temos expressões quadráticas dentro de raízes, como aqui. Vamos precisar lembrar de algumas identidades trigonométricas básicas para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz: x - 1 = 2 sin theta . Isso nos lembra da forma 4 - (x - 1)^2 = 4 - 4 sin^2 theta = 4 (1 - sin^2 theta) = 4 cos^2 theta , que é perfeita para uma substituição trigonométrica. Vamos fazer a seguinte substituição:
raiz4 - (x - 1)^2 = raiz4 cos^2 theta = 2 cos theta
Dessa forma, a expressão dentro da raiz fica:
Então, a raiz fica:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar dx = 2 cos theta , dtheta em termos de integral raiz4 - (x - 1)^2 , dx = integral 2 cos theta cdot 2 cos theta , dtheta = 4 integral cos^2 theta , dtheta . Derivando a substituição em relação a , temos:
Substituindo tudo na integral original:

Passo 4

Para resolver cos^2 theta = 1 + cos 2theta2 , usamos a identidade trigonométrica:
4 integral 1 + cos 2theta2 , dtheta = 2 integral (1 + cos 2theta) , dtheta = 2 ( theta + sin 2theta2 ) + C = 2theta + sin 2theta + C
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, precisamos voltar para a variável original sin theta = x - 12 . Lembrando que fizemos a substituição theta = sin^-1 ( x - 12 ) , então:
sin 2theta = 2 cdot x - 12 cdot cos theta = (x - 1) cos theta
Isso implica que:
sin 2theta = (x - 1) cdot raiz4 - (x - 1)^22 = (x - 1)raiz-x^2 + 2x + 32
Além disso, usando a identidade , temos:
E sabemos que , então:

Passo 6

Substituindo tudo de volta na expressão da integral, temos:
2theta + sin 2theta + C = 2 sin^-1 ( x - 12 ) + (x - 1)raiz-x^2 + 2x + 32 + C
Organizando os termos, fica:
12 (x - 1) raiz-x^2 + 2x + 3 + 2 sin^-1 ( x - 12 ) + C

Resposta

12 (x - 1) raiz-x^2 + 2x + 3 + 2 sin^-1 ( x - 12 ) + C

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