Calcule as integrais a seguir, usando frações parciais:
© (Resposta:

Passo 1

Beleza, galera! A gente vai calcular a integral usando frações parciais. Isso faz parte de uma matéria de Cálculo, especificamente de integrais racionais. Pra resolver isso, a gente vai precisar dividir a fração em partes mais simples que a gente consegue integrar mais fácil.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a decomposição em frações parciais. A ideia é escrever como uma soma de frações mais simples. Como o denominador tem os fatores e , a gente assume a forma:

Passo 3

Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum pra eliminar as frações:

Passo 4

Vamos expandir e simplificar a equação:

Passo 5

Agora, vamos igualar os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Para :
Para :
Para o termo constante:

Passo 6

Resolvendo o sistema de equações:
  1. Da primeira equação:
  2. Substituindo na terceira equação:
  1. Agora temos:
  1. Subtraindo as duas equações:
  1. Então,
  2. Substituindo na equação :

Passo 7

Agora que temos , e , substituímos de volta na decomposição:

Passo 8

Vamos integrar cada termo separadamente:

Passo 9

Calculando as integrais:

Resposta

Juntando tudo, a integral é:

Exercícios relacionados

Calcule as integrais seguir, por partes:
© Resposta:
Calcule as seguintes integrais de funções trigonométricas:
(d) (Resposta:
Calcule as integrais a seguir usando o método da substituição trigonométrica:
(d) (Resposta: )
Calcule as integrais abaixo utilizando o método mais adequado:
(1) (Resposta: )