Calcule as integrais a seguir, usando frações parciais:
© integral1 3 x+5(x+1)(x-1)^2 d x (Resposta: 12 ln |x+1x-1|-4x-1+C)

Passo 1

Beleza, galera! A gente vai calcular a integral usando frações parciais. Isso faz parte de uma matéria de Cálculo, especificamente de integrais racionais. Pra resolver isso, a gente vai precisar dividir a fração em partes mais simples que a gente consegue integrar mais fácil.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a decomposição em frações parciais. A ideia é escrever 3x + 5(x + 1)(x - 1)^2 = Ax + 1 + Bx - 1 + C(x - 1)^2 como uma soma de frações mais simples. Como o denominador tem os fatores e , a gente assume a forma:

Passo 3

Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum 3x + 5 = A(x - 1)^2 + B(x + 1)(x - 1) + C(x + 1) pra eliminar as frações:

Passo 4

Vamos expandir e simplificar a equação:
3x + 5 = A(x^2 - 2x + 1) + B(x^2 - 1) + Cx + C
3x + 5 = (A + B)x^2 + (-2A + C)x + (A - B + C)

Passo 5

Agora, vamos igualar os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Para A + B = 0 :
-2A + C = 3
Para A - B + C = 5 :
Para o termo constante:

Passo 6

Resolvendo o sistema de equações:
  1. Da primeira equação: A - (-A) + C = 5 Rightarrow 2A + C = 5
  2. Substituindo -2A + C = 3 na terceira equação:
2A + C = 5
  1. Agora temos:
(-2A + C) - (2A + C) = 3 - 5 Rightarrow -4A = -2 Rightarrow A = 12
1 + C = 5 Rightarrow C = 4
  1. Subtraindo as duas equações:
  1. Então,
  2. Substituindo na equação :

Passo 7

Agora que temos 3x + 5(x + 1)(x - 1)^2 = 12x + 1 + -12x - 1 + 4(x - 1)^2 , e , substituímos de volta na decomposição:

Passo 8

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral 3x + 5(x + 1)(x - 1)^2 dx = 12 integral 1x + 1 dx - 12 integral 1x - 1 dx + 4 integral 1(x - 1)^2 dx

Passo 9

Calculando as integrais:

Resposta

Juntando tudo, a integral é:
12 ln | x + 1x - 1 | - 4x - 1 + C

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