Calcule as integrais abaixo utilizando o método mais adequado
(j) integral xe^x d x (Resposta: -(x+1) e^-x+C)

Passo 1

Vamos resolver a integral integral xe^x , dx. Esse exercício está na área de Cálculo Integral e vamos usar o método de integração por partes, que é perfeito para integrais que são produtos de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral para facilitar:
integral x cdot e^-x , dx
Aqui, reescrevemos 1e^x como e^-x para simplificar a visualização.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a fórmula de integração por partes, que é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Precisamos escolher quais partes da nossa integral serão atribuídas a u e dv.

Passo 4

Vamos fazer as seguintes escolhas:
  • Escolha de u e dv:
    • u = x (assim, du = dx)
    • dv = e^-x , dx (assim, v = -e^-x)
Essa escolha é estratégica porque a derivada de u ( du) fica mais simples, e a integral de dv ( v) também é fácil de calcular.

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x cdot e^-x , dx = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= x cdot (-e^-x) - integral (-e^-x) cdot dx
Simplificando:
= -x e^-x + integral e^-x , dx

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral restante:
integral e^-x , dx = -e^-x + C
Substituindo de volta na expressão anterior:
- x e^-x - e^-x + C
Fatorando -e^-x:
= -(x + 1) e^-x + C

Resposta

Portanto, a integral é:
integral xe^x , dx = - (x + 1) e^-x + C

Exercícios relacionados

Sejam as duas integrais abaixo:
a) integral raiz16-x^2 d x
b) integral x raiz16-x^2 d x
(a) Tente adivinhar qual delas será a maior à ser computada. Explique seus motivos.
(b) Calcule as integrais e veja qual é a maior.
Seja a função f(x) = 1/(x^2 - 4)
(d) É possível fazer a mesma integral usando a substituição x = 2 sec(theta) ? Se possível faça a integral. Senão indique o porquê que a substituição falha.
Determine o domínio das seguintes funções:
y = raiz(|x / (x + 1)| - 1).
Determine o domínio de:
y = raiz(x) / raiz(2*x - 1)^(1/3).