Determine o domínio das seguintes funções:
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. A função que queremos analisar é:
O objetivo é encontrar todos os valores de
para os quais essa função está definida. Para isso, precisamos lembrar de dois conceitos principais:
- Radiciação: A expressão dentro da raiz quadrada deve ser maior ou igual a zero, pois não podemos tirar a raiz quadrada de um número negativo.
- Divisão por zero: O denominador da fração
não pode ser zero, pois a divisão por zero não é permitida.
Passo 2
Vamos começar garantindo que o denominador não seja zero. A fração
tem um denominador
, então:
Isso significa que
não pode ser igual a
.
Passo 3
Agora, vamos garantir que a expressão dentro da raiz quadrada seja maior ou igual a zero:
Isso pode ser reescrito como:
Passo 4
A desigualdade
significa que o valor absoluto da fração
é maior ou igual a 1. Isso nos dá duas possibilidades:
Vamos resolver cada uma dessas desigualdades separadamente.
Passo 5
Primeira possibilidade:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Simplificando a fração:
Multiplicando ambos os lados por -1 (lembrando que isso inverte o sinal da desigualdade):
Isso acontece quando:
Passo 6
Segunda possibilidade:
Adicionando 1 a ambos os lados:
Simplificando a fração:
Para resolver essa desigualdade, encontramos os pontos onde o numerador e o denominador são zero:
- Numerador:
- Denominador:
(já sabemos que )
Agora, analisamos os intervalos determinados por esses pontos:
Testando cada intervalo:
- Para
: Ambos numerador e denominador são negativos, então a fração é positiva ( ). - Para
: Numerador é negativo e denominador é positivo, então a fração é negativa ( ). - Para
: Ambos numerador e denominador são positivos, então a fração é positiva ( ).
A desigualdade
é satisfeita quando a fração é menor ou igual a zero, ou seja, no intervalo:
Passo 7
Agora, juntando as duas possibilidades que encontramos:
Além disso, lembramos que
.
Portanto, o domínio da função é a união desses intervalos:
Resposta
O domínio da função é
.
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Calcule as integrais abaixo utilizando o método mais adequado
(j)integral xe^x d x (Resposta:
-(x+1) e^-x+C)
(j)
Sejam as duas integrais abaixo:
a)integral raiz16-x^2 d x
b)integral x raiz16-x^2 d x
(a) Tente adivinhar qual delas será a maior à ser computada. Explique seus motivos.
(b) Calcule as integrais e veja qual é a maior.
a)
b)
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