Determine o domínio das seguintes funções:
y = raiz(|x / (x + 1)| - 1).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. A função que queremos analisar é:
O objetivo é encontrar todos os valores de para os quais essa função está definida. Para isso, precisamos lembrar de dois conceitos principais:
  1. Radiciação: A expressão dentro da raiz quadrada deve ser maior ou igual a zero, pois não podemos tirar a raiz quadrada de um número negativo.
  2. Divisão por zero: O denominador da fração não pode ser zero, pois a divisão por zero não é permitida.

Passo 2

Vamos começar garantindo que o denominador não seja zero. A fração tem um denominador , então:
Isso significa que não pode ser igual a .

Passo 3

Agora, vamos garantir que a expressão dentro da raiz quadrada seja maior ou igual a zero:
Isso pode ser reescrito como:

Passo 4

A desigualdade significa que o valor absoluto da fração é maior ou igual a 1. Isso nos dá duas possibilidades:
Vamos resolver cada uma dessas desigualdades separadamente.

Passo 5

Primeira possibilidade:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Simplificando a fração:
Multiplicando ambos os lados por -1 (lembrando que isso inverte o sinal da desigualdade):
Isso acontece quando:

Passo 6

Segunda possibilidade:
Adicionando 1 a ambos os lados:
Simplificando a fração:
Para resolver essa desigualdade, encontramos os pontos onde o numerador e o denominador são zero:
  • Numerador:
  • Denominador: (já sabemos que )
Agora, analisamos os intervalos determinados por esses pontos:
Testando cada intervalo:
  • Para : Ambos numerador e denominador são negativos, então a fração é positiva ( ).
  • Para : Numerador é negativo e denominador é positivo, então a fração é negativa ( ).
  • Para : Ambos numerador e denominador são positivos, então a fração é positiva ( ).
A desigualdade é satisfeita quando a fração é menor ou igual a zero, ou seja, no intervalo:

Passo 7

Agora, juntando as duas possibilidades que encontramos:
Além disso, lembramos que .
Portanto, o domínio da função é a união desses intervalos:

Resposta

O domínio da função é .

Exercícios relacionados

Calcule as integrais abaixo utilizando o método mais adequado
(j) integral xe^x d x (Resposta: -(x+1) e^-x+C)
Sejam as duas integrais abaixo:
a) integral raiz16-x^2 d x
b) integral x raiz16-x^2 d x
(a) Tente adivinhar qual delas será a maior à ser computada. Explique seus motivos.
(b) Calcule as integrais e veja qual é a maior.
Determine o domínio de:
y = raiz(x) / raiz(2*x - 1)^(1/3).
Determine o domínio de:
y = ln(5 - 2 x^2).