Seja a função
(d) É possível fazer a mesma integral usando a substituição ? Se possível faça a integral. Senão indique o porquê que a substituição falha.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente integrar a função usando a substituição . A matéria envolvida aqui é cálculo integral, especificamente técnicas de substituição trigonométrica. Vamos precisar lembrar como fazer essa substituição e simplificar a integral passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a substituição proposta: . Isso significa que é um ângulo tal que . Agora, precisamos encontrar em termos de .
Sabemos que , então:
Passo 3
Agora, vamos substituir e na integral original:
Simplificando o denominador:
Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos simplificar . Sabemos que:
Portanto:
Assim, a integral fica:
Passo 5
Sabemos que a integral de é:
Então, substituindo de volta:
Passo 6
Agora, precisamos voltar da substituição trigonométrica para a variável original . Lembrando que , podemos desenhar um triângulo retângulo para expressar em termos de .
Em um triângulo retângulo, se , então a hipotenusa é e o cateto adjacente é . O cateto oposto, usando o teorema de Pitágoras, é .
Portanto, .
Passo 7
Usando essa relação, podemos expressar em termos de . Sabemos que: