Sejam as duas integrais abaixo:
a)
b)
(a) Tente adivinhar qual delas será a maior à ser computada. Explique seus motivos.
(b) Calcule as integrais e veja qual é a maior.
a)
b)
(a) Tente adivinhar qual delas será a maior à ser computada. Explique seus motivos.
(b) Calcule as integrais e veja qual é a maior.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas integrais:
a)
b)
Estamos trabalhando com cálculo de integrais, especificamente envolvendo funções com raízes quadradas. Para resolver essas integrais, vamos precisar usar técnicas de substituição trigonométrica e substituição simples. Nosso objetivo é descobrir qual das duas integrais resulta em um valor maior.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar adivinhar qual das duas integrais será maior. Observando as funções, a integral (a) representa a área sob a curva
, que é a parte superior de um círculo de raio 4. Já a integral (b) tem um termo extra de
multiplicando a mesma função. Esse termo pode fazer com que a área seja distribuída de forma diferente, possivelmente reduzindo o valor total devido a áreas positivas e negativas. Portanto, suspeito que a integral (a) será maior que a integral (b).
Passo 3
Vamos calcular a integral (a):
.
Para resolver essa integral, usamos uma substituição trigonométrica. Vamos definir:
Derivando ambos os lados em relação a
:
Substituindo na integral:
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então a integral fica:
Usando a identidade trigonométrica:
Substituindo:
Voltando para
, lembrando que
, temos:
E:
Portanto, a integral (a) resulta em:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral (b):
.
Para resolver essa integral, usamos uma substituição simples. Definimos:
Derivando ambos os lados em relação a
:
Substituindo na integral:
Integrando:
Voltando para
:
Passo 5
Agora que calculamos ambas as integrais, vamos comparar os resultados.
A integral (a) é:
E a integral (b) é:
Observando as duas expressões, percebemos que a integral (a) combina uma função crescente com um termo positivo que adiciona valor total à integral. Já a integral (b) possui um termo negativo multiplicando uma expressão que diminui à medida que
se afasta de 0, reduzindo o valor total da integral. Portanto, a integral (a) tende a ser maior que a integral (b), confirmando nossa suspeita inicial.
Resposta
Após calcular ambas as integrais, concluímos que a integral (a)
é maior que a integral (b)
.
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. Ache
. (Resposta:
)
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(j) (Resposta:
(j)
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.