Sejam as duas integrais abaixo:
a) integral raiz16-x^2 d x
b) integral x raiz16-x^2 d x
(a) Tente adivinhar qual delas será a maior à ser computada. Explique seus motivos.
(b) Calcule as integrais e veja qual é a maior.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas integrais:
a)
b)
Estamos trabalhando com cálculo de integrais, especificamente envolvendo funções com raízes quadradas. Para resolver essas integrais, vamos precisar usar técnicas de substituição trigonométrica e substituição simples. Nosso objetivo é descobrir qual das duas integrais resulta em um valor maior.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar adivinhar qual das duas integrais será maior. Observando as funções, a integral (a) representa a área sob a curva , que é a parte superior de um círculo de raio 4. Já a integral (b) tem um termo extra de multiplicando a mesma função. Esse termo pode fazer com que a área seja distribuída de forma diferente, possivelmente reduzindo o valor total devido a áreas positivas e negativas. Portanto, suspeito que a integral (a) será maior que a integral (b).

Passo 3

Vamos calcular a integral (a): integral raiz16 - (4 sin theta)^2 cdot 4 cos theta , dtheta = integral raiz16 - 16 sin^2 theta cdot 4 cos theta , dtheta .
Para resolver essa integral, usamos uma substituição trigonométrica. Vamos definir:
raiz16 (1 - sin^2 theta) = raiz16 cos^2 theta = 4 cos theta
Derivando ambos os lados em relação a integral 4 cos theta cdot 4 cos theta , dtheta = 16 integral cos^2 theta , dtheta :
cos^2 theta = 1 + cos 2theta2
Substituindo na integral:
16 integral 1 + cos 2theta2 , dtheta = 8 integral (1 + cos 2theta) , dtheta = 8 ( theta + sin 2theta2 ) + C
Simplificando a expressão dentro da raiz:
theta = arcsin(x4)
Então a integral fica:
sin 2theta = 2 sin theta cos theta = 2 cdot x4 cdot raiz16 - x^24 = x raiz16 - x^28
Usando a identidade trigonométrica:
8 arcsin(x4) + x raiz16 - x^22 + C
Substituindo:
Voltando para , lembrando que , temos:
E:
Portanto, a integral (a) resulta em:

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral (b): u = 16 - x^2 .
Para resolver essa integral, usamos uma substituição simples. Definimos:
du = -2x , dx Rightarrow x , dx = -du2
Derivando ambos os lados em relação a integral x raiz16 - x^2 , dx = integral raizu cdot (-du2) = -12 integral u^1/2 , du :
-12 cdot u^3/232 + C = -13 u^3/2 + C
Substituindo na integral:
-13 (16 - x^2)^3/2 + C
Integrando:
Voltando para :

Passo 5

Agora que calculamos ambas as integrais, vamos comparar os resultados.
A integral (a) é:
8 arcsin(x4) + x raiz16 - x^22 + C
E a integral (b) é:
-13 (16 - x^2)^3/2 + C
Observando as duas expressões, percebemos que a integral (a) combina uma função crescente com um termo positivo que adiciona valor total à integral. Já a integral (b) possui um termo negativo multiplicando uma expressão que diminui à medida que se afasta de 0, reduzindo o valor total da integral. Portanto, a integral (a) tende a ser maior que a integral (b), confirmando nossa suspeita inicial.

Resposta

Após calcular ambas as integrais, concluímos que a integral (a) é maior que a integral (b) .

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