Calcule as integrais: b) integral cos (3 x) cos (5 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Isso está relacionado ao cálculo integrando funções trigonométricas, especificamente o produto de dois cossenos. Para resolver, vamos usar uma identidade trigonométrica que transforma o produto de cossenos em uma soma, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da identidade trigonométrica para o produto de cossenos:
cos(A) cos(B) = 12 [cos(A + B) + cos(A - B)]
Aqui, e . Vamos aplicar essa identidade para simplificar a integral.

Passo 3

Substituindo cos(3x) cos(5x) = 12 [cos(3x + 5x) + cos(3x - 5x)] = 12 [cos(8x) + cos(-2x)] e cos(3x) cos(5x) = 12 [cos(8x) + cos(2x)] na identidade, temos:
Lembrando que , pois o cosseno é uma função par. Então:

Passo 4

Agora, substituímos essa expressão na integral original:
integral cos(3x) cos(5x) , dx = 12 integral [cos(8x) + cos(2x)] , dx
Vamos separar essa integral em duas partes para facilitar a resolução:
12 ( integral cos(8x) , dx + integral cos(2x) , dx )

Passo 5

Integrando cada termo separadamente:
integral cos(8x) , dx = sin(8x)8 + C1
integral cos(2x) , dx = sin(2x)2 + C2
Onde e são constantes de integração.

Passo 6

Voltando à expressão anterior:
12 ( sin(8x)8 + sin(2x)2 ) + C
Onde é a constante geral de integração.

Passo 7

Simplificando os coeficientes:
12 cdot sin(8x)8 = sin(8x)16
12 cdot sin(2x)2 = sin(2x)4
Então, a integral fica:
sin(8x)16 + sin(2x)4 + C

Resposta

A integral de integral cos(3x) cos(5x) , dx = sin(8x)16 + sin(2x)4 + C é:

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