Calcule os seguintes limites usando l lim x longrightarrow 0^+ x^2 ln x

Passo 1

Ok, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite de quando tende a zero pela direita. Isso envolve conceitos de cálculo de limites e funções logarítmicas. Para resolver, vamos precisar entender como o comportamento de e se comporta próximo a zero e como eles interagem.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada parte da expressão separadamente. Sabemos que quando se aproxima de zero pela direita, também tende a zero. Por outro lado, tende a menos infinito ( ) porque o logaritmo natural de números muito pequenos é muito negativo.

Passo 3

Agora, temos uma situação onde multiplicamos algo que tende a zero ( ) por algo que tende a menos infinito ( ). Para entender melhor o comportamento desse produto, vamos reescrever a expressão de uma forma que facilite a aplicação da Regra de L’Hôpital.

Passo 4

Reescrevendo limx to 0^+ ln x1/x^2 como , transformamos a multiplicação em uma fração. Agora, queremos calcular:
Essa forma nos permite aplicar a Regra de L’Hôpital, já que tanto o numerador quanto o denominador tendem a e , respectivamente.

Passo 5

Aplicando a Regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador:
Derivada de ln x em relação a x é 1x çãé
Derivada de 1x^2 em relação a x é -2x^3 çãé
Então, o limite fica:
limx to 0^+ 1x-2x^3 = limx to 0^+ -x^22 = 0

Resposta

O limite de quando tende a zero pela direita é 0.

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