Encontre as assíntotas horizontais, verticais e inclinadas das seguintes funções:
raiz(x^2 + x) - x

Passo 1

Aqui temos a função . O exercício pede para encontrarmos as assíntotas horizontais, verticais e inclinadas dessa função. Vamos precisar entender o que são assíntotas e como analisar o comportamento da função quando x tende ao infinito ou a pontos específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar a análise. Podemos reescrever como . Isso nos dá:
Como estamos interessados no comportamento quando x tende a +infinito ou -infinito, podemos considerar x positivo ou negativo, respectivamente.

Passo 3

Para (valores grandes e positivos de x):
Então, a função fica:
Isso indica que, quando x tende a +infinito, a função se aproxima de 1/2, sugerindo uma assíntota horizontal em .

Passo 4

Para (valores grandes e negativos de x):
Assim, a função fica:
Isso mostra que, quando x tende a -infinito, a função se comporta como a reta , indicando uma assíntota inclinada.

Passo 5

Quanto às assíntotas verticais, elas ocorrem em valores de x onde a função não está definida ou tende a infinito. Observando a função , o radicando x^2 + x é sempre positivo para todo x >= 0 e também para . Entre , temos . Portanto, a função está definida para todo x em R e não há assíntotas verticais.

Resposta

A função possui uma assíntota horizontal em e uma assíntota inclinada em . Não há assíntotas verticais.

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