Encontre as assíntotas horizontais, verticais e inclinadas das seguintes funções:

Passo 1

Aqui temos a função . O exercício pede para encontrarmos as assíntotas horizontais, verticais e inclinadas dessa função. Vamos precisar entender o que são assíntotas e como analisar o comportamento da função quando tende ao infinito ou a pontos específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar a análise. Podemos reescrever como . Isso nos dá:
Como estamos interessados no comportamento quando tende a ou , podemos considerar positivo ou negativo, respectivamente.

Passo 3

Para (valores grandes e positivos de ):
Então, a função fica:
Isso indica que, quando tende a , a função se aproxima de , sugerindo uma assíntota horizontal em .

Passo 4

Para (valores grandes e negativos de ):
Assim, a função fica:
Isso mostra que, quando tende a , a função se comporta como a reta , indicando uma assíntota inclinada.

Passo 5

Quanto às assíntotas verticais, elas ocorrem em valores de onde a função não está definida ou tende a infinito. Observando a função , o radicando é sempre positivo para todo e também para . Entre , temos . Portanto, a função está definida para todo e não há assíntotas verticais.

Resposta

A função possui uma assíntota horizontal em e uma assíntota inclinada em . Não há assíntotas verticais.

Exercícios relacionados

Para as próximas funções use o roteiro para esboçar o gráfico.
A. Determine o domínio da função.
B. intersecções com os eixos;
C. Símetrias;
D. Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
E. Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
F. Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
G. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
H. Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
Calcule as integrais: b)
*a) Prove que a área da elipse é
Para as próximas funções use o roteiro para esboçar o gráfico.
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