Use a Integração por partes para: *a) calcular integral e^(2 x) cos (3 x) d x

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de integral u , dv = u , v - integral v , du utilizando a técnica de integração por partes. Integração por partes é uma ferramenta poderosa da cálculo integral que nos ajuda a integrar produtos de funções. Para isso, precisamos identificar quais partes da nossa integral serão e na fórmula:

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes u = e^2x Rightarrow du = 2e^2x , dx e dv = cos(3x) , dx Rightarrow v = 13 sin(3x) na nossa integral .
Escolhemos:
Aqui, diferenciamos para encontrar e integramos para encontrar .

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral e^2x cos(3x) , dx = u cdot v - integral v cdot du
Substituindo os valores que encontramos:
= e^2x cdot 13 sin(3x) - integral 13 sin(3x) cdot 2e^2x , dx
Simplificando:
= e^2x sin(3x)3 - 23 integral e^2x sin(3x) , dx

Passo 4

Agora, precisamos resolver a integral u = e^2x Rightarrow du = 2e^2x , dx que surgiu no passo anterior. Vamos novamente utilizar integração por partes para essa nova integral.
Escolhemos:
dv = sin(3x) , dx Rightarrow v = -13 cos(3x)

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes na nova integral:
integral e^2x sin(3x) , dx = u cdot v - integral v cdot du
Substituindo:
= e^2x cdot (-13cos(3x)) - integral (-13cos(3x)) cdot 2e^2x , dx
Simplificando:
= -e^2x cos(3x)3 + 23 integral e^2x cos(3x) , dx

Passo 6

Voltando à nossa equação original:
integral e^2x cos(3x) , dx = e^2x sin(3x)3 - 23 ( -e^2x cos(3x)3 + 23 integral e^2x cos(3x) , dx )
Distribuindo o = e^2x sin(3x)3 + 2e^2x cos(3x)9 - 49 integral e^2x cos(3x) , dx :

Passo 7

Agora, vamos isolar a integral I = e^2x sin(3x)3 + 2e^2x cos(3x)9 - 49 I . Chamando essa integral de I + 49 I = e^2x sin(3x)3 + 2e^2x cos(3x)9 :
139 I = e^2x sin(3x)3 + 2e^2x cos(3x)9
Somando em ambos os lados:

Passo 8

Resolvendo para I = ( e^2x sin(3x)3 + 2e^2x cos(3x)9 ) cdot 913 :
I = 3e^2x sin(3x) + 2e^2x cos(3x)13
Simplificando:

Resposta

A integral de integral e^2x cos(3x) , dx = 3 e^2x sin(3x) + 2 e^2x cos(3x)13 + C é:
Onde é a constante de integração.

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