Use a Integração por partes para: *a) calcular
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de
utilizando a técnica de integração por partes. Integração por partes é uma ferramenta poderosa da cálculo integral que nos ajuda a integrar produtos de funções. Para isso, precisamos identificar quais partes da nossa integral serão
e
na fórmula:
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes
e
na nossa integral
.
Escolhemos:
Aqui, diferenciamos
para encontrar
e integramos
para encontrar
.
Passo 3
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Passo 4
Agora, precisamos resolver a integral
que surgiu no passo anterior. Vamos novamente utilizar integração por partes para essa nova integral.
Escolhemos:
Passo 5
Aplicando a fórmula de integração por partes na nova integral:
Substituindo:
Simplificando:
Passo 6
Voltando à nossa equação original:
Distribuindo o
:
Passo 7
Agora, vamos isolar a integral
. Chamando essa integral de
:
Somando
em ambos os lados:
Passo 8
Resolvendo para
:
Simplificando:
Resposta
A integral de
é:
Onde
é a constante de integração.
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O modelo logístico foi aplicado à uma população de linguados gigantes em determinadas áreas do Oceano Pacífico. Suponha que
, medido em quilogramas seja a massa total, ou biomassa, de população de linguados gigantes em um instante
. Os parâmetros na equação logística são estimados como tendo os valores
/ano e
.
(f) Encontre o instante no qual a biomassa atinge
(f) Encontre o instante
Calcule as integrais: b)
Para as próximas funções use o roteiro para esboçar o gráfico.
A. Determine o domínio da função.
B. intersecções com os eixos;
C. Símetrias;
D. Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
E. Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
F. Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
G. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
H. Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
A. Determine o domínio da função.
B. intersecções com os eixos;
C. Símetrias;
D. Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
E. Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
F. Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
G. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
H. Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.