Use a Integração por partes para: *a) calcular

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de utilizando a técnica de integração por partes. Integração por partes é uma ferramenta poderosa da cálculo integral que nos ajuda a integrar produtos de funções. Para isso, precisamos identificar quais partes da nossa integral serão e na fórmula:

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes e na nossa integral .
Escolhemos:
Aqui, diferenciamos para encontrar e integramos para encontrar .

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:

Passo 4

Agora, precisamos resolver a integral que surgiu no passo anterior. Vamos novamente utilizar integração por partes para essa nova integral.
Escolhemos:

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes na nova integral:
Substituindo:
Simplificando:

Passo 6

Voltando à nossa equação original:
Distribuindo o :

Passo 7

Agora, vamos isolar a integral . Chamando essa integral de :
Somando em ambos os lados:

Passo 8

Resolvendo para :
Simplificando:

Resposta

A integral de é:
Onde é a constante de integração.

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O modelo logístico foi aplicado à uma população de linguados gigantes em determinadas áreas do Oceano Pacífico. Suponha que , medido em quilogramas seja a massa total, ou biomassa, de população de linguados gigantes em um instante . Os parâmetros na equação logística são estimados como tendo os valores /ano e .
(f) Encontre o instante no qual a biomassa atinge
Calcule as integrais: b)
Para as próximas funções use o roteiro para esboçar o gráfico.
A. Determine o domínio da função.
B. intersecções com os eixos;
C. Símetrias;
D. Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
E. Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
F. Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
G. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
H. Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.