Para as próximas funções use o roteiro para esboçar o gráfico.
A. Determine o domínio da função.
B. intersecções com os eixos;
C. Símetrias;
D. Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
E. Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
F. Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
G. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
H. Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
A. Determine o domínio da função.
B. intersecções com os eixos;
C. Símetrias;
D. Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
E. Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
F. Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
G. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
H. Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício juntos! A questão pede para analisar a função
usando um roteiro para esboçar o gráfico. Vamos precisar de conhecimentos sobre funções logarítmicas, domínio, interseções com os eixos, simetrias, assíntotas, intervalos de crescimento/decrescimento, máximos e mínimos locais, concavidade e pontos de inflexão.
Passo 2
A. Determinar o domínio da função.
Para encontrar o domínio da função, precisamos garantir que o que está dentro do logaritmo seja positivo, ou seja:
Vamos resolver a inequação quadrática
. Primeiro, encontramos o discriminante:
Como o discriminante é negativo (
), a equação quadrática não tem raízes reais e o coeficiente de
é positivo, então a expressão
é sempre positiva para todo
real.
Domínio:
(todos os números reais).
Passo 3
B. Intersecções com os eixos.
Intersecção com o eixo y:
Para encontrar onde a função corta o eixo y, calculamos
:
Portanto, a intersecção com o eixo y é no ponto
.
Intersecções com o eixo x:
Para encontrar onde a função corta o eixo x, resolvemos
:
Resolvendo a equação
:
As raízes são:
Portanto, as intersecções com o eixo x são nos pontos
e
.
Passo 4
C. Simetrias.
Vamos verificar se a função é par, ímpar ou não tem simetria.
Uma função é par se
.
Calculando
:
Como
, a função não é par.
Uma função é ímpar se
.
Claramente,
, então a função não é ímpar.
Conclusão: A função não possui simetria em relação ao eixo y nem à origem.
Passo 5
D. Encontrar as assíntotas horizontais e verticais.
Assíntotas verticais:
Assíntotas verticais ocorrem onde a função não está definida (mas nosso domínio é todo
), e o logaritmo tende a
. Contudo, como
nunca é zero, não há assíntotas verticais.
Assíntotas horizontais:
Analisamos o comportamento de
quando
:
Como ambos os limites tendem ao infinito, não há assíntotas horizontais.
Conclusão: A função não possui assíntotas verticais nem horizontais.
Passo 6
E. Encontrar os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente.
Para determinar onde a função é crescente ou decrescente, calculamos a derivada
:
Analisamos o sinal de
:
O denominador
é sempre positivo (como vimos no domínio), então o sinal de
depende apenas do numerador
.
Resolvendo
:
- Para
: → → função decrescente. - Para
: → → função crescente.
Conclusão:
- Decrescente:
- Crescente:
Passo 7
F. Encontrar os valores de máximo e mínimo locais.
Vamos verificar os pontos críticos encontrados no Passo 6.
Temos um ponto crítico em
.
Analisando a derivada:
- Antes de
, a função é decrescente. - Depois de
, a função é crescente.
Isso indica que em
há um ponto de mínimo local.
Calculando o valor mínimo:
Conclusão:
- Mínimo local: em
com - Sem máximos locais.
Passo 8
G. Encontrar os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Para determinar concavidade e pontos de inflexão, calculamos a segunda derivada
:
Primeira derivada:
Segunda derivada usando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Portanto:
Analisamos o sinal de
observando o numerador
.
Resolvendo
:
Portanto, os possíveis pontos de inflexão são em
e
.
Analisando o sinal de
:
- Para
: → concava para baixo. - Para
: → concava para cima. - Para
: → concava para baixo.
Conclusão:
- Concavidade para cima:
- Concavidade para baixo:
- Pontos de inflexão:
Passo 9
H. Esboçar o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
Com base nas análises anteriores, o gráfico de
terá as seguintes características:
- Domínio: Todos os números reais.
- Intersecções:
- Eixo y em
. - Eixo x em
e .
- Eixo y em
- Sem simetrias.
- Sem assíntotas.
- Crescimento e Decrescimento:
- Decrescente em
. - Crescente em
.
- Decrescente em
- Mínimo Local: Em
com . - Concavidade:
- Concava para baixo em
e . - Concava para cima em
.
- Concava para baixo em
- Pontos de Inflexão: Em
.
O gráfico passará pelos pontos de intersecção com os eixos, terá um ponto de mínimo em
, mudará de concavidade nos pontos de inflexão e seguirá as tendências de crescimento e decrescimento conforme determinado.
Resposta
Seguindo os passos anteriores, determinamos todas as características da função
. O gráfico apresenta interceptações nos pontos
,
e
, possui um mínimo local em
, e mudanças na concavidade nos pontos
. Não há simetrias nem assíntotas, e a função é decrescente antes de
e crescente após esse ponto. Esses elementos permitem esboçar o gráfico completo da função.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais: b)
Use a Integração por partes para: *a) calcular
Encontre as assíntotas horizontais, verticais e inclinadas das seguintes funções:
*a) Prove que a área da elipse
é