Para as próximas funções use o roteiro para esboçar o gráfico.
A. Determine o domínio da função.
B. intersecções com os eixos;
C. Símetrias;
D. Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
E. Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
F. Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
G. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
H. Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício juntos! A questão pede para analisar a função usando um roteiro para esboçar o gráfico. Vamos precisar de conhecimentos sobre funções logarítmicas, domínio, interseções com os eixos, simetrias, assíntotas, intervalos de crescimento/decrescimento, máximos e mínimos locais, concavidade e pontos de inflexão.

Passo 2

A. Determinar o domínio da função.
Para encontrar o domínio da função, precisamos garantir que o que está dentro do logaritmo seja positivo, ou seja:
Vamos resolver a inequação quadrática . Primeiro, encontramos o discriminante:
Como o discriminante é negativo ( ), a equação quadrática não tem raízes reais e o coeficiente de é positivo, então a expressão é sempre positiva para todo real.
Domínio: (todos os números reais).

Passo 3

B. Intersecções com os eixos.
Intersecção com o eixo y:
Para encontrar onde a função corta o eixo y, calculamos :
Portanto, a intersecção com o eixo y é no ponto .
Intersecções com o eixo x:
Para encontrar onde a função corta o eixo x, resolvemos :
Resolvendo a equação :
As raízes são:
Portanto, as intersecções com o eixo x são nos pontos e .

Passo 4

C. Simetrias.
Vamos verificar se a função é par, ímpar ou não tem simetria.
Uma função é par se .
Calculando :
Como , a função não é par.
Uma função é ímpar se .
Claramente, , então a função não é ímpar.
Conclusão: A função não possui simetria em relação ao eixo y nem à origem.

Passo 5

D. Encontrar as assíntotas horizontais e verticais.
Assíntotas verticais:
Assíntotas verticais ocorrem onde a função não está definida (mas nosso domínio é todo ), e o logaritmo tende a . Contudo, como nunca é zero, não há assíntotas verticais.
Assíntotas horizontais:
Analisamos o comportamento de quando :
Como ambos os limites tendem ao infinito, não há assíntotas horizontais.
Conclusão: A função não possui assíntotas verticais nem horizontais.

Passo 6

E. Encontrar os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente.
Para determinar onde a função é crescente ou decrescente, calculamos a derivada :
Analisamos o sinal de :
O denominador é sempre positivo (como vimos no domínio), então o sinal de depende apenas do numerador .
Resolvendo :
  • Para : → função decrescente.
  • Para : → função crescente.
Conclusão:
  • Decrescente:
  • Crescente:

Passo 7

F. Encontrar os valores de máximo e mínimo locais.
Vamos verificar os pontos críticos encontrados no Passo 6.
Temos um ponto crítico em .
Analisando a derivada:
  • Antes de , a função é decrescente.
  • Depois de , a função é crescente.
Isso indica que em há um ponto de mínimo local.
Calculando o valor mínimo:
Conclusão:
  • Mínimo local: em com
  • Sem máximos locais.

Passo 8

G. Encontrar os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Para determinar concavidade e pontos de inflexão, calculamos a segunda derivada :
Primeira derivada:
Segunda derivada usando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Portanto:
Analisamos o sinal de observando o numerador .
Resolvendo :
Portanto, os possíveis pontos de inflexão são em e .
Analisando o sinal de :
  • Para : → concava para baixo.
  • Para : → concava para cima.
  • Para : → concava para baixo.
Conclusão:
  • Concavidade para cima:
  • Concavidade para baixo:
  • Pontos de inflexão:

Passo 9

H. Esboçar o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
Com base nas análises anteriores, o gráfico de terá as seguintes características:
  • Domínio: Todos os números reais.
  • Intersecções:
    • Eixo y em .
    • Eixo x em e .
  • Sem simetrias.
  • Sem assíntotas.
  • Crescimento e Decrescimento:
    • Decrescente em .
    • Crescente em .
  • Mínimo Local: Em com .
  • Concavidade:
    • Concava para baixo em e .
    • Concava para cima em .
  • Pontos de Inflexão: Em .
O gráfico passará pelos pontos de intersecção com os eixos, terá um ponto de mínimo em , mudará de concavidade nos pontos de inflexão e seguirá as tendências de crescimento e decrescimento conforme determinado.

Resposta

Seguindo os passos anteriores, determinamos todas as características da função . O gráfico apresenta interceptações nos pontos , e , possui um mínimo local em , e mudanças na concavidade nos pontos . Não há simetrias nem assíntotas, e a função é decrescente antes de e crescente após esse ponto. Esses elementos permitem esboçar o gráfico completo da função.

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Use a Integração por partes para: *a) calcular
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