Calcule as integrais:
(b) integral ln (y)raizy d y;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, a gente vai usar o método da integração por partes, que é super útil quando temos uma função complicada multiplicada por outra. Para isso, precisamos identificar qual parte da função vai ser e qual vai ser .

Passo 2

Primeiro, vamos definir:
A ideia é escolher de forma que a sua derivada seja mais simples, e que seja fácil de integrar.

Passo 3

Agora, vamos calcular v = integral 1raizy , dy = integral y^-1/2 , dy = 2raizy e :
  • Derivando :
  • Integrando :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral ln(y)raizy , dy = ln(y) cdot 2raizy - integral 2raizy cdot 1y , dy
= 2raizy ln(y) - 2integral y^-1/2 , dy

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral que sobra:
integral y^-1/2 , dy = 2raizy
Portanto:
2raizy ln(y) - 2 cdot 2raizy = 2raizy ln(y) - 4raizy

Resposta

A integral 2raizy ln(y) - 4raizy + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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