Calcule as integrais:
(n) integral r^3 ln (r) d r;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de em relação a . Isso envolve integração por partes, uma técnica da cálculo integral que usamos quando temos o produto de duas funções. Vamos precisar identificar quais partes da expressão serão e para aplicar a fórmula da integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Precisamos escolher e de forma que facilitar a integração. Geralmente, escolhemos como a função que simplifica quando derivada e como o restante que é fácil de integrar.

Passo 3

No nosso caso, vamos escolher:
u = ln(r) e dv = r^3 , dr
Agora, vamos calcular e .

Passo 4

Calculando du = ddr ln(r) , dr = 1r , dr :
v = integral r^3 , dr = r^44
E calculando , que é a integral de :

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral r^3 ln(r) , dr = u , v - integral v , du
Substituindo = ln(r) cdot r^44 - integral r^44 cdot 1r , dr , , e :

Passo 6

Simplificando a integral restante:
integral r^44 cdot 1r , dr = 14 integral r^3 , dr = 14 cdot r^44 = r^416

Passo 7

Substituindo de volta na expressão anterior:
integral r^3 ln(r) , dr = r^44 ln(r) - r^416 + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a:
r^44 ln(r) - r^416 + C

Exercícios relacionados