Calcule as integrais:
(j) integral sen^5(x) d x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral sen^5(x) , dx. Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas, especificamente funções potenciais de seno. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica que envolve separar potências ímpares de funções trigonométricas usando identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando temos uma potência ímpar de seno, como sen^5(x), podemos separar uma das funções seno e usar a identidade sen^2(x) = 1 - cos^2(x). Isso ajuda a simplificar a integral.

Passo 3

Vamos reescrever a integral separando uma sen(x):
integral sen^5(x) , dx = integral sen^4(x) cdot sen(x) , dx

Passo 4

Agora, aplicamos a identidade sen^2(x) = 1 - cos^2(x) para sen^4(x):
sen^4(x) = (sen^2(x))^2 = (1 - cos^2(x))^2

Passo 5

Substituindo de volta na integral:
integral (1 - cos^2(x))^2 cdot sen(x) , dx

Passo 6

Fazemos uma substituição para facilitar a integração. Vamos deixar u = cos(x). Então, a derivada de u em relação a x é du/dx = -sen(x), ou seja, -du = sen(x) , dx.

Passo 7

Substituindo na integral:
integral (1 - u^2)^2 cdot (-du) = -integral (1 - 2u^2 + u^4) , du

Passo 8

Agora, podemos integrar termo a termo:
- ( integral 1 , du - 2 integral u^2 , du + integral u^4 , du ) = - ( u - 23u^3 + 15u^5 ) + C

Passo 9

Agora, substituímos u = cos(x) de volta:
- ( cos(x) - 23cos^3(x) + 15cos^5(x) ) + C

Passo 10

Distribuindo o sinal negativo:
- cos(x) + 23cos^3(x) - 15cos^5(x) + C

Resposta

A integral de sen^5(x) , dx é:
- cos(x) + 23cos^3(x) - 15cos^5(x) + C

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