Calcule as integrais:
(e) integral0^pi / 2 cos ^2(theta) d theta;

Passo 1

Vamos resolver a integral integral0^pi / 2 cos^2(theta) dtheta. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral e trigonometria. Para resolver essa integral, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica que simplifica a expressão de cos^2(theta).

Passo 2

Sabemos que cos^2(theta) pode ser reescrito usando a identidade trigonométrica:
cos^2(theta) = 1 + cos(2theta)2
Essa identidade nos ajuda a transformar a integral em uma forma mais fácil de resolver.

Passo 3

Substituímos a identidade na integral original:
integral0^pi / 2 cos^2(theta) dtheta = integral0^pi / 2 1 + cos(2theta)2 dtheta = 12 integral0^pi / 2 1 , dtheta + 12 integral0^pi / 2 cos(2theta) , dtheta
Agora, temos duas integrais mais simples para resolver.

Passo 4

Vamos resolver cada uma das integrais separadamente:
  1. 12 integral0^pi / 2 1 , dtheta = 12 [ theta ]0^pi / 2 = 12 ( pi2 - 0 ) = pi4
  2. 12 integral0^pi / 2 cos(2theta) , dtheta = 12 [ sin(2theta)2 ]0^pi / 2 = 14 ( sin(pi) - sin(0) ) = 14 (0 - 0) = 0

Resposta

Somando os resultados das duas integrais, temos:
pi4 + 0 = pi4
Portanto, o valor da integral é pi4.

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