Calcule as integrais
b) integral-pi^pi sen(3 theta) cos (theta) d theta

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral definida de no intervalo de a . Para isso, vamos usar técnicas de integração envolvendo identidades trigonométricas que facilitam o cálculo da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos utilizar a identidade trigonométrica que transforma o produto de seno e cosseno em uma soma de senos:
sin(A) cos(B) = sin(A + B) + sin(A - B)2
No nosso caso, sin(3theta) cos(theta) = sin(3theta + theta) + sin(3theta - theta)2 = sin(4theta) + sin(2theta)2 e . Aplicando a identidade:

Passo 3

Substituindo a expressão obtida na integral original:
integral-pi^pi sin(3theta) cos(theta) , dtheta = integral-pi^pi sin(4theta) + sin(2theta)2 , dtheta
Podemos separar a integral em duas partes:
= 12 integral-pi^pi sin(4theta) , dtheta + 12 integral-pi^pi sin(2theta) , dtheta

Passo 4

Agora, vamos calcular cada uma das integrais separadamente. Sabemos que a integral de uma função ímpar (como o seno) sobre um intervalo simétrico em torno de zero é igual a zero. Isso ocorre porque a área positiva cancela a área negativa.
Portanto:
integral-pi^pi sin(4theta) , dtheta = 0
e
integral-pi^pi sin(2theta) , dtheta = 0
Assim, substituindo de volta na expressão:
12 times 0 + 12 times 0 = 0

Resposta

O valor da integral é igual a zero.

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