Determine
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos o limite
. Vamos usar conhecimentos de limites e funções exponenciais para resolver isso. Precisaremos manipular exponenciais e entender como funções trigonométricas se comportam próximo de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar essa expressão complicada. A forma
pode ser trabalhosa para limites, então vamos usar o logaritmo natural para facilitar. Lembre-se que
. Assim, podemos transformar o limite original em:
Passo 3
Agora, precisamos calcular
. Sabemos que
. Então, substituindo:
Passo 4
Vamos analisar cada parte separadamente perto de
:
-
tende a 1 quando tende a 0. -
pode ser aproximado por quando é pequeno (usando a série de Taylor: para ).
Então, a expressão simplifica para:
Passo 5
Sabemos que
quando
é próximo de 0. Substituindo isso na expressão, temos:
Resposta
Assim, o limite original é
.