Determine lim x 0^+(x+1)^cotg(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos o limite . Vamos usar conhecimentos de limites e funções exponenciais para resolver isso. Precisaremos manipular exponenciais e entender como funções trigonométricas se comportam próximo de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar essa expressão complicada. A forma ln(lim x 0^+(x+1)^cot(x)) = lim x 0^+ cot(x) cdot ln(x+1) pode ser trabalhosa para limites, então vamos usar o logaritmo natural para facilitar. Lembre-se que . Assim, podemos transformar o limite original em:

Passo 3

Agora, precisamos calcular lim x 0^+ cos(x)sin(x) cdot ln(x+1) . Sabemos que . Então, substituindo:

Passo 4

Vamos analisar cada parte separadamente perto de lim x 0^+ 1sin(x) cdot x :
  • tende a 1 quando tende a 0.
  • pode ser aproximado por quando é pequeno (usando a série de Taylor: para ).
Então, a expressão simplifica para:

Passo 5

Sabemos que lim x 0^+ 1x cdot x = lim x 0^+ 1 = 1 quando é próximo de 0. Substituindo isso na expressão, temos:

Resposta

Assim, o limite original é .

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