Calcule as integrais:
b) integral x(9-25 x^2)^32 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Essa questão é de cálculo integral, especificamente envolvendo integrais que têm funções racionais e raízes quadradas. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição (também conhecida como troca de variável), que ajuda a simplificar a integral tornando-a mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da expressão que podemos substituir por uma nova variável para simplificar a integral. Observando o denominador , vemos que a expressão aparece sob a raiz quadrada. Vamos fazer a substituição:
Seja .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du = ddx(9 - 25x^2) , dx = -50x , dx , que é a derivada de -50x , dx = du Rightarrow x , dx = -150 , du em relação a :
Isso significa que:

Passo 4

Vamos substituir integral x(9 - 25x^2)^32 , dx = integral -150 , duu^32 = -150 integral u^-32 , du e na integral original:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral integral u^n , du = u^n+1n+1 + C (onde n neq -1) . A regra para integrar potências de integral u^-32 , du = u^-12-12 + C = -2u^-12 + C é:
Aplicando essa regra com :

Passo 6

Voltando à nossa substituição inicial, substituímos - 150 ( -2u^-12 ) + C = 250 u^-12 + C = 125 cdot 1raizu + C de volta:
125 cdot 1raiz9 - 25x^2 + C
Substituindo :

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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