Defina o raio e o intervalo de convergência das séries: sum n!x^n(2 n)!.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar o raio e o intervalo de convergência da série sum n!x^n(2 n)!. Isso está relacionado ao estudo de séries de potências na matemática. Pra resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Razão, que ajuda a determinar onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que, para uma série sum an, se calcularmos o limite limn to infty | an+1an | = L, então:
  • Se L < 1, a série converge.
  • Se L > 1, a série diverge.
  • Se L = 1, o teste é inconclusivo.
Nossa série é sum n!x^n(2 n)!. Então, an = n!x^n(2 n)!.

Passo 3

Vamos calcular an+1an:
Simplificando:
an+1an = (n+1)!x^n+1(2(n+1))! cdot (2n)!n!x^n = (n+1)x cdot (2n)!(2n+2)(2n+1)(2n)! = (n+1)x(2n+2)(2n+1)

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite desse quociente quando n tende ao infinito:
limn to infty | (n+1)x(2n+1)(2n+2) | = limn to infty | n+14n^2 + 6n + 2 cdot x |
Dividindo numerador e denominador por n^2:
= limn to infty | n+1n^24n^2 + 6n + 2n^2 cdot x | = limn to infty | 1n + 1n^24 + 6n + 2n^2 cdot x | = 0 + 04 + 0 + 0 cdot |x| = 0

Passo 5

Como o limite L = 0 e 0 < 1, pelo Teste da Razão, a série converge para todo valor de x. Isso significa que o raio de convergência é infinito, ou seja, R = infty.

Resposta

O raio de convergência da série é infinito ( R = infty) e, portanto, o intervalo de convergência é todo o conjunto dos números reais, R.

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