Defina o raio e o intervalo de convergência das séries: .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar o raio e o intervalo de convergência da série . Isso está relacionado ao estudo de séries de potências na matemática. Pra resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Razão, que ajuda a determinar onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que, para uma série , se calcularmos o limite , então:
Se L < 1, a série converge.
Se L > 1, a série diverge.
Se L = 1, o teste é inconclusivo.
Nossa série é sum n!x^n(2 n)!. Então, an = n!x^n(2 n)!.
Agora, vamos calcular o limite desse quociente quando n tende ao infinito:
limn to infty | (n+1)x(2n+1)(2n+2) | = limn to infty | n+14n^2 + 6n + 2 cdot x |
Dividindo numerador e denominador por n^2:
= limn to infty | n+1n^24n^2 + 6n + 2n^2 cdot x | = limn to infty | 1n + 1n^24 + 6n + 2n^2 cdot x | = 0 + 04 + 0 + 0 cdot |x| = 0
Passo 5
Como o limite L = 0 e 0 < 1, pelo Teste da Razão, a série converge para todo valor de x. Isso significa que o raio de convergência é infinito, ou seja, R = infty.
Resposta
O raio de convergência da série é infinito (R = infty) e, portanto, o intervalo de convergência é todo o conjunto dos números reais, R.