Prove que: Se ou , então .

Passo 1

Nessa questão, a gente precisa provar que se a sequência tende para ou para , então a sequência tende para 0. O conteúdo aqui envolve limites de sequências e como o comportamento de uma sequência grande ou muito negativa afeta o limite da sua inversa. Vamos usar os conceitos de limites no infinito para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar o caso em que . Isso significa que, à medida que aumenta, os valores de ficam cada vez maiores sem um limite superior específico.
Agora, queremos analisar o comportamento de . Como está ficando muito grande, o valor de fica cada vez menor. Mais formalmente, para qualquer número positivo pequeno , podemos encontrar um índice tal que para todo , . Isso implica que .

Passo 3

Agora, vamos considerar o outro caso em que . Aqui, à medida que aumenta, os valores de ficam cada vez mais negativos, sem um limite inferior específico.
De maneira similar ao caso anterior, analisamos . Como está ficando muito negativo (em magnitudes grandes), o valor de também fica cada vez menor em magnitude, aproximando-se de 0. Formalmente, para qualquer , existe um índice tal que para todo , , o que implica .

Resposta

Portanto, mostramos que se tende para ou para , então tende para 0.

Exercícios relacionados

Calcule as integrais:
b)
Prove que: Se e , então .
Calcule as integrais:
f)
Decida se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta: .