Calcule as integrais:
f)
f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral de
em relação a
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, mais especificamente com integrais que envolvem funções trigonométricas e substituição. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica que simplifique a expressão dentro da raiz quadrada.
Passo 2
Primeiro, vamos observar que temos
dentro da raiz quadrada. Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar
. Assim, a derivada de
em relação a
é
. Isso é ótimo porque temos
no numerador da nossa integral.
Passo 3
Com essa substituição, nossa integral original fica mais simples. Substituindo
e
, a integral se transforma em:
Agora, temos uma integral que é bem conhecida e mais fácil de resolver.
Passo 4
A integral
é uma forma padrão que resulta na função arco seno hiperbólico. A antiderivada é:
Onde
é a constante de integração. Lembrando que
, mas podemos deixar na forma de arco seno hiperbólico para simplificação.
Passo 5
Agora, voltamos à nossa variável original
. Lembrando que fizemos
, substituímos de volta:
Essa é a expressão final da antiderivada da integral que queremos calcular.
Resposta
A integral
é igual a
, onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Prove que: Se
ou
, então
.
Calcule as integrais:
b)
b)
Decida se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta:
.
Decida se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta:
.