Calcule as integrais:
f) integral cos (t)raiz1+sen^2(t) d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral de em relação a . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, mais especificamente com integrais que envolvem funções trigonométricas e substituição. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica que simplifique a expressão dentro da raiz quadrada.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que temos dentro da raiz quadrada. Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar . Assim, a derivada de em relação a é . Isso é ótimo porque temos no numerador da nossa integral.

Passo 3

Com essa substituição, nossa integral original fica mais simples. Substituindo integral cos(t)raiz1+sin^2(t) dt = integral duraiz1 + u^2 e , a integral se transforma em:
Agora, temos uma integral que é bem conhecida e mais fácil de resolver.

Passo 4

A integral sinh^-1(u) + C é uma forma padrão que resulta na função arco seno hiperbólico. A antiderivada é:
Onde é a constante de integração. Lembrando que , mas podemos deixar na forma de arco seno hiperbólico para simplificação.

Passo 5

Agora, voltamos à nossa variável original sinh^-1(sin(t)) + C . Lembrando que fizemos , substituímos de volta:
Essa é a expressão final da antiderivada da integral que queremos calcular.

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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Calcule as integrais:
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