Prove que: Se e , então .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa provar que se duas sequências e estão “subindo pra sempre” para , então a soma delas também vai pra . Vamos usar conceitos de limites de sequências que crescem sem parar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que . Isso quer dizer que, para qualquer número grande que você imaginar, existe um ponto na sequência a partir do qual todos os termos são maiores que esse número. O mesmo vale para .

Passo 3

Agora, para provar que , vamos pegar um número grande qualquer e mostrar que a partir de certo ponto, todos os termos da soma são maiores que .

Passo 4

Como , para esse , existe um índice tal que para todo , temos:

Passo 5

Da mesma forma, já que , também existe um índice tal que para todo ,:

Passo 6

Vamos escolher como o maior entre e , ou seja:
Assim, para todo , as duas desigualdades acima são verdadeiras ao mesmo tempo.

Passo 7

Então, para ,
Ou seja, a soma é maior que .

Resposta

Concluímos que tende para . 🎉

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Defina o raio e o intervalo de convergência das séries: .
Defina o raio e o intervalo de convergência das séries: .
Calcule as integrais:
b)
Prove que: Se ou , então .