Prove que: Se
e
, então
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa provar que se duas sequências
e
estão “subindo pra sempre” para
, então a soma delas
também vai pra
. Vamos usar conceitos de limites de sequências que crescem sem parar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que
. Isso quer dizer que, para qualquer número grande que você imaginar, existe um ponto na sequência a partir do qual todos os termos são maiores que esse número. O mesmo vale para
.
Passo 3
Agora, para provar que
, vamos pegar um número grande qualquer
e mostrar que a partir de certo ponto, todos os termos da soma
são maiores que
.
Passo 4
Como
, para esse
, existe um índice
tal que para todo
, temos:
Passo 5
Da mesma forma, já que
, também existe um índice
tal que para todo
,:
Passo 6
Vamos escolher
como o maior entre
e
, ou seja:
Assim, para todo
, as duas desigualdades acima são verdadeiras ao mesmo tempo.
Passo 7
Então, para
,
Ou seja, a soma é maior que
.
Resposta
Concluímos que
tende para
. 🎉
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Defina o raio e o intervalo de convergência das séries:
.
Defina o raio e o intervalo de convergência das séries:
.
Calcule as integrais:
b)
b)
Prove que: Se
ou
, então
.