Calcule as integrais
b) integral0^pi pi integraly^pi pi cos (x^2) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral dupla . Isso envolve cálculo de integrais duplas e um pouco de manipulação de limites de integração. Para resolver, vamos precisar entender como mudar a ordem de integração e utilizar substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. O varia de até , e para cada valor de , varia de até . Isso significa que estamos integrando sobre uma região triangular no plano .

Passo 3

Agora, vamos trocar a ordem de integração. Em vez de integrar integral0^pi^2 integral0^x cos(x^2) , dy , dx de até para cada , vamos integrar de até para cada . Assim, a integral dupla fica:

Passo 4

Observamos que integral0^x cos(x^2) , dy = cos(x^2) integral0^x , dy = cos(x^2) cdot x não depende de integral0^pi^2 x cos(x^2) , dx , então podemos simplificar a integral interna:
Agora, nossa integral dupla se reduz a uma integral simples:

Passo 5

Para resolver u = x^2 Rightarrow du = 2x , dx Rightarrow x , dx = du2 , usamos a substituição. Vamos deixar:
12 integral cos(u) , du = 12 sin(u) + C = 12 sin(x^2) + C
Substituindo na integral:

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de 12 sin(x^2) g|0^pi^2 = 12 sin(pi^4) - 12 sin(0) = 12 sin(pi^4) a :

Resposta

A integral vale .

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