Calcule as integrais
b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral dupla . Isso envolve cálculo de integrais duplas e um pouco de manipulação de limites de integração. Para resolver, vamos precisar entender como mudar a ordem de integração e utilizar substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. O varia de até , e para cada valor de , varia de até . Isso significa que estamos integrando sobre uma região triangular no plano .

Passo 3

Agora, vamos trocar a ordem de integração. Em vez de integrar de até para cada , vamos integrar de até para cada . Assim, a integral dupla fica:

Passo 4

Observamos que não depende de , então podemos simplificar a integral interna:
Agora, nossa integral dupla se reduz a uma integral simples:

Passo 5

Para resolver , usamos a substituição. Vamos deixar:
Substituindo na integral:

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de a :

Resposta

A integral vale .

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