Calcule o reolume do sólido dado
a) Limtado pela Heperbobraide
eplo plana

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular o volume de um sólido que é limitado por uma hipérbole de duas folhas dada pela equação e pelo plano . Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais triplas, para encontrar o volume delimitado pelas superfícies mencionadas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender as equações que delimitam o sólido. A equação representa uma hipérbole de duas folhas. Para visualizar melhor, podemos resolver para :
Isso mostra que para cada ponto , está acima de 1.
O plano é uma superfície horizontal que corta a hipérbole.

Passo 3

Para encontrar o volume entre essas duas superfícies, vamos configurar uma integral tripla. Seria mais fácil usar coordenadas cilíndricas devido à simetria circular em torno do eixo .
Nas coordenadas cilíndricas:
E o elemento de volume é .

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração:
  • varia de a para cobrir toda a circunferência.
  • varia de ao valor onde a hipérbole e o plano se intersectam. Igualando na equação da hipérbole:
Então, varia de a .
  • varia da hipérbole até o plano, ou seja, de a .

Passo 5

Agora, podemos escrever a integral tripla para o volume :

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, integramos em relação a :
Calculando cada parte:
Para a segunda parte, fazemos uma substituição:
Então:
Portanto:

Passo 8

Finalmente, integramos em relação a :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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Seja . Ache , tal que .
Seja união de duas superfícies, e , onde é o conjunto dos pontos com , e é o conjunto dos pontos tal que . Seja . Calcule
Calcule as integrais
e)
Calcule as integrais
b)