Calcule o reolume do sólido dado
a) Limtado pela Heperbobraide eplo plana
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular o volume de um sólido que é limitado por uma hipérbole de duas folhas dada pela equação e pelo plano . Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais triplas, para encontrar o volume delimitado pelas superfícies mencionadas.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender as equações que delimitam o sólido. A equação representa uma hipérbole de duas folhas. Para visualizar melhor, podemos resolver para :
Isso mostra que para cada ponto , está acima de 1.
O plano é uma superfície horizontal que corta a hipérbole.
Passo 3
Para encontrar o volume entre essas duas superfícies, vamos configurar uma integral tripla. Seria mais fácil usar coordenadas cilíndricas devido à simetria circular em torno do eixo .
Nas coordenadas cilíndricas:
E o elemento de volume é .
Passo 4
Vamos determinar os limites de integração:
varia de a para cobrir toda a circunferência.
varia de ao valor onde a hipérbole e o plano se intersectam. Igualando na equação da hipérbole:
Então, varia de a .
varia da hipérbole até o plano, ou seja, de a .
Passo 5
Agora, podemos escrever a integral tripla para o volume :
Passo 6
Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a :