Calcule as integrais
d) integral-3^3 integral0^raiz0-x^2 sen(x^2+y^2) d y d x

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral dupla . Isso está relacionado ao cálculo de integrais duplas, que é uma parte da Matemática que lida com encontrar o volume sob uma superfície em um determinado domínio. Para resolver, vamos precisar entender os limites de integração e analisar a função que estamos integrando.

Passo 2

Primeiro, vamos observar os limites de integração. A integral externa vai de até . Para cada valor de , a integral interna vai de até .

Passo 3

Agora, vamos analisar o limite superior da integral interna: 0 - x^2 >= 0 implies -x^2 >= 0 implies x^2 <= 0 . Para que isso seja um número real, o que está dentro da raiz quadrada precisa ser maior ou igual a zero. Ou seja:
A única solução real para isso é , porque qualquer outro valor de faria positivo, tornando imaginário.

Passo 4

Então, para todos os valores de diferentes de zero, o limite superior para não é um número real. Isso significa que, para , a integral interna não contribui para o valor total da integral dupla.

Passo 5

No caso específico de y = raiz0 - 0^2 = raiz0 = 0 , o limite superior da integral interna é:
Portanto, a integral interna vai de até , o que faz com que seu valor seja zero.

Passo 6

Como a integral interna é zero para todos os valores de no intervalo , a integral dupla inteira também será zero.

Resposta

A integral dupla é igual a .

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