Calcule as integrais
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Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral dupla . Isso está relacionado ao cálculo de integrais duplas, que é uma parte da Matemática que lida com encontrar o volume sob uma superfície em um determinado domínio. Para resolver, vamos precisar entender os limites de integração e analisar a função que estamos integrando.
Passo 2
Primeiro, vamos observar os limites de integração. A integral externa vai de
até
. Para cada valor de
, a integral interna vai de
até
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o limite superior da integral interna:
. Para que isso seja um número real, o que está dentro da raiz quadrada precisa ser maior ou igual a zero. Ou seja:
A única solução real para isso é
, porque qualquer outro valor de
faria
positivo, tornando
imaginário.
Passo 4
Então, para todos os valores de
diferentes de zero, o limite superior para
não é um número real. Isso significa que, para
, a integral interna não contribui para o valor total da integral dupla.
Passo 5
No caso específico de
, o limite superior da integral interna é:
Portanto, a integral interna vai de
até
, o que faz com que seu valor seja zero.
Passo 6
Como a integral interna é zero para todos os valores de
no intervalo
, a integral dupla inteira também será zero.
Resposta
A integral dupla é igual a
.
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.