Calcule as integrais
e)
e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla
. A matéria envolvida aqui é o Cálculo Integral, especificamente integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como mudar de coordenadas cartesianas para coordenadas polares, o que pode facilitar bastante essa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos
variando de 0 a 2 e, para cada
,
varia de 0 até
. Vamos reescrever a expressão dentro da raiz:
Isso representa um semicírculo com centro em
e raio 1.
Passo 3
Agora, vamos mudar para coordenadas polares, onde
e
. Nessa transformação, a expressão
simplifica para
.
Também precisamos ajustar os limites de integração. O raio
varia de 0 a 2 (já que
vai até 2 e o raio máximo é 1, mas como o centro está em 1, o raio total considerado será 2). O ângulo
varia de 0 a
, cobrindo todo o semicírculo superior.
Passo 4
Expressamos a integral dupla em coordenadas polares:
Aqui,
é o Jacobiano da transformação para polares.
Passo 5
Vamos calcular a integral interna em relação a
:
Passo 6
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
O valor da integral é
.
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Seja
. Ache
, tal que
.
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b)
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d)
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