Calcule as integrais
e)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla . A matéria envolvida aqui é o Cálculo Integral, especificamente integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como mudar de coordenadas cartesianas para coordenadas polares, o que pode facilitar bastante essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos variando de 0 a 2 e, para cada , varia de 0 até . Vamos reescrever a expressão dentro da raiz:
Isso representa um semicírculo com centro em e raio 1.

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas polares, onde e . Nessa transformação, a expressão simplifica para .
Também precisamos ajustar os limites de integração. O raio varia de 0 a 2 (já que vai até 2 e o raio máximo é 1, mas como o centro está em 1, o raio total considerado será 2). O ângulo varia de 0 a , cobrindo todo o semicírculo superior.

Passo 4

Expressamos a integral dupla em coordenadas polares:
Aqui, é o Jacobiano da transformação para polares.

Passo 5

Vamos calcular a integral interna em relação a :

Passo 6

Agora, integramos em relação a :

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados

Calcule o reolume do sólido dado
a) Limtado pela Heperbobraide
eplo plana
Seja . Ache , tal que .
Calcule as integrais
b)
Calcule as integrais
d)