Calcule as integrais
e) integral0^2 integral0^raiz2 x-x^2 raizx^2+y^2 d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla . A matéria envolvida aqui é o Cálculo Integral, especificamente integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como mudar de coordenadas cartesianas para coordenadas polares, o que pode facilitar bastante essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos y = raiz2x - x^2 = raiz -x^2 + 2x = raiz - (x^2 - 2x) = raiz - (x - 1)^2 + 1 variando de 0 a 2 e, para cada , varia de 0 até . Vamos reescrever a expressão dentro da raiz:
Isso representa um semicírculo com centro em e raio 1.

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas polares, onde e . Nessa transformação, a expressão simplifica para .
Também precisamos ajustar os limites de integração. O raio varia de 0 a 2 (já que vai até 2 e o raio máximo é 1, mas como o centro está em 1, o raio total considerado será 2). O ângulo varia de 0 a , cobrindo todo o semicírculo superior.

Passo 4

Expressamos a integral dupla em coordenadas polares:
integral0^pi integral0^2 r cdot r , dr , dtheta = integral0^pi integral0^2 r^2 , dr , dtheta
Aqui, é o Jacobiano da transformação para polares.

Passo 5

Vamos calcular a integral interna em relação a integral0^2 r^2 , dr = [ r^33 ]0^2 = 83 :

Passo 6

Agora, integramos em relação a integral0^pi 83 , dtheta = 83 cdot pi = 8pi3 :

Resposta

O valor da integral é .

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