Calcule as integrais:
© integral cos ^3(2 x) sen^2(2 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está na área de cálculo integral, especificamente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnicas de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão usando identidades trigonométricas. Sabemos que cos^3(2x) pode ser escrita como cos^2(2x) cdot cos(2x). Assim, a integral fica:

Passo 3

Agora, lembrando que , podemos substituir na integral:

Passo 4

Vamos distribuir os termos dentro da integral:

Passo 5

Observando que ambas as integrais têm um cos(2x) multiplicando uma potência de , podemos fazer uma substituição para facilitar. Vamos definir . Então, a derivada de sen(2x) em relação a u = sen(2x) é u, ou seja, x.

Passo 6

Resolvendo para dx, temos dx = du2 cos(2x). Substituindo na integral, temos:
12 integral u^2 , du - 12 integral u^4 , du

Passo 7

Agora, integrando cada termo separadamente:
12 cdot u^33 - 12 cdot u^55 + C = u^36 - u^510 + C

Passo 8

Substituindo de volta, a solução fica:

Resposta

A integral é igual a , onde sen^3(2x)6 - sen^5(2x)10 + C é a constante de integração.

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