Calcule as integrais:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral . Esse tipo de integral envolve uma função polinomial multiplicada por uma função trigonométrica. Para resolver, vamos precisar usar o método de integração por partes, que é uma técnica fundamental no cálculo para integrar produtos de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes:
Nessa fórmula, escolhemos quais partes da nossa integral serão
e
para facilitar a integração.
Passo 3
Vamos identificar
e
na nossa integral :
- Escolhemos
porque derivar polinômios simplifica a expressão. - Então, .
Passo 4
Agora, precisamos encontrar
e
:
- Derivando
, temos . - Integrando , temos
(já que a integral de é ).
Passo 5
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 6
Agora, precisamos resolver a nova integral
. Vamos aplicar novamente a integração por partes nessa integral.
Passo 7
Definimos novamente
e
:
-
(mais simples de derivar). -
.
Passo 8
Encontramos
e
:
- Derivando
, temos . - Integrando
, temos (já que a integral de é ).
Passo 9
Aplicando a integração por partes na integral
:
Substituindo:
(Aqui usamos que ).
Passo 10
Voltando à expressão anterior:
Distribuindo a
:
Resposta
A integral é igual a:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais:
(m)
(m)
Calcule utilizando o método da integração por partes.
(h)
(h)
Calcule as integrais definidas:
(e)
(e)
Calcule as integrais:
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