Calcule as integrais:
® integral x^2 sen(5 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse tipo de integral envolve uma função polinomial multiplicada por uma função trigonométrica. Para resolver, vamos precisar usar o método de integração por partes, que é uma técnica fundamental no cálculo para integrar produtos de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Nessa fórmula, escolhemos quais partes da nossa integral serão e para facilitar a integração.

Passo 3

Vamos identificar e na nossa integral :
  • Escolhemos porque derivar polinômios simplifica a expressão.
  • Então, .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar e :
  • Derivando , temos .
  • Integrando , temos (já que a integral de é ).

Passo 5

Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
integral x^2 sen(5x) , dx = uv - integral v , du
= x^2 (-15 cos(5x)) - integral (-15 cos(5x)) cdot 2x , dx

Passo 6

Agora, precisamos resolver a nova integral . Vamos aplicar novamente a integração por partes nessa integral.

Passo 7

Definimos novamente e :
  • (mais simples de derivar).
  • .

Passo 8

Encontramos e :
  • Derivando , temos .
  • Integrando , temos (já que a integral de é ).

Passo 9

Aplicando a integração por partes na integral integral x cos(5x) , dx = uv - integral v , du :
= x cdot 15 sen(5x) - integral 15 sen(5x) cdot dx
Substituindo:
(Aqui usamos que ).

Passo 10

Voltando à expressão anterior:
Distribuindo a -x^25 cos(5x) + 25 ( x5 sen(5x) + 125 cos(5x) ) :

Resposta

A integral é igual a:
onde -x^25 cos(5x) + 2x25 sen(5x) + 2125 cos(5x) + C é a constante de integração.

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