Calcule as integrais:
(k) integral x^3 cos x d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral . Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente usando o método de integração por partes. Para resolver, vamos precisar aplicar esse método algumas vezes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. É uma técnica que nos ajuda a integrar o produto de duas funções. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, vamos escolher quais partes da nossa integral serão e .

Passo 3

Vamos definir du = 3x^2 , dx e v = integral cos x , dx = sin x . Agora, precisamos calcular e :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x^3 cos x , dx = u cdot v - integral v , du = x^3 sin x - integral sin x cdot 3x^2 , dx
Simplificando:
= x^3 sin x - 3 integral x^2 sin x , dx

Passo 5

Agora, precisamos resolver a nova integral u = x^2 Rightarrow du = 2x , dx usando novamente integração por partes. Vamos escolher:
dv = sin x , dx Rightarrow v = -cos x

Passo 6

Aplicando a fórmula novamente:
integral x^2 sin x , dx = u cdot v - integral v , du = -x^2 cos x - integral (-cos x) cdot 2x , dx
Simplificando:
= -x^2 cos x + 2 integral x cos x , dx

Passo 7

Agora, vamos resolver u = x Rightarrow du = dx usando integração por partes mais uma vez. Escolhemos:
dv = cos x , dx Rightarrow v = sin x

Passo 8

Aplicando a fórmula:
integral x cos x , dx = u cdot v - integral v , du = x sin x - integral sin x , dx
E sabemos que:
integral sin x , dx = -cos x
Então:
= x sin x + cos x

Passo 9

Voltando para o passo anterior:
integral x^2 sin x , dx = -x^2 cos x + 2 (x sin x + cos x) = -x^2 cos x + 2x sin x + 2 cos x

Passo 10

Agora, substituímos de volta na equação do Passo 4:
integral x^3 cos x , dx = x^3 sin x - 3 (-x^2 cos x + 2x sin x + 2 cos x)
Distribuindo o -3:
= x^3 sin x + 3x^2 cos x - 6x sin x - 6 cos x

Resposta

A integral x^3 sin x + 3x^2 cos x - 6x sin x - 6 cos x + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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