Calcule as integrais:
(i) integral sen^4 x cos ^3 x d x

Passo 1

Beleza! A gente tem que resolver a integral . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo, mais especificamente de integração por substituição e uso de identidades trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar algumas técnicas de manipulação de potências de funções trigonométricas e aplicar a substituição adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a integral: . Note que o expoente de é ímpar (3), o que é bom porque podemos separar uma para fazer a substituição.

Passo 3

Vamos reescrever a integral separando uma integral sin^4 x cos^3 x , dx = integral sin^4 x cos^2 x cdot cos x , dx :

Passo 4

Sabemos que cos^2 x = 1 - sin^2 x pode ser substituído pela identidade trigonométrica:
integral sin^4 x (1 - sin^2 x) cos x , dx
Então, substituindo na integral:

Passo 5

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja du = cos x , dx , então:
integral u^4 (1 - u^2) , du
Substituindo na integral:

Passo 6

Vamos distribuir integral (u^4 - u^6) , du dentro do parêntese:

Passo 7

Agora, integramos cada termo separadamente:
integral u^4 , du - integral u^6 , du = u^55 - u^77 + C

Passo 8

Finalmente, substituímos sin^5 x5 - sin^7 x7 + C de volta na expressão:

Resposta

A integral é igual a .

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(k) integral x^3 cos x d x
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(t) integral x^2 e^-4 x d x