Calcule as integrais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício envolve o cálculo de integrais racionais, ou seja, integrais de funções que são quocientes de polinômios. Para resolver, vamos precisar usar a divisão de polinômios e a decomposição em frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração . Para isso, fazemos a divisão do polinômio do numerador pelo polinômio do denominador.
Dividindo por :
Então, a integral fica:

Passo 3

Vamos simplificar ainda mais a segunda integral. Primeiro, fatoramos o denominador:
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, precisamos decompor a fração em frações parciais. Assumimos que:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:

Passo 5

Agora, vamos encontrar os valores de , e . Para isso, escolhemos valores de que simplificam a equação.
  1. Para :
  2. Para :
  3. Comparando os coeficientes de :

Passo 6

Agora que temos , e , substituímos de volta na decomposição:

Passo 7

Agora, substituímos na integral:
Simplificando cada integral:

Resposta

Juntando tudo, a solução da integral é:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Determine se a integral é convergente ou divergente:
Em considere a relação dada por
Essa relação é chamada de ordem lexicográfica em .
(a) Prove que é uma ordem total em .
(b) Ordene os seguintes elementos de acordo com a ordem lexicográfica:
Determine se a integral é convergente ou divergente:
Seja a superfície do cubo, determinada pelos seis planos e orientada para fora. Determine o fluxo para cada um dos campos abaixo.
©