Calcule as integrais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício envolve o cálculo de integrais racionais, ou seja, integrais de funções que são quocientes de polinômios. Para resolver, vamos precisar usar a divisão de polinômios e a decomposição em frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a fração
. Para isso, fazemos a divisão do polinômio do numerador pelo polinômio do denominador.
Dividindo
por
:
Então, a integral fica:
Passo 3
Vamos simplificar ainda mais a segunda integral. Primeiro, fatoramos o denominador:
Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, precisamos decompor a fração
em frações parciais. Assumimos que:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Passo 5
Agora, vamos encontrar os valores de
,
e
. Para isso, escolhemos valores de
que simplificam a equação.
-
Para
: -
Para
: -
Comparando os coeficientes de
:
Passo 6
Agora que temos
,
e
, substituímos de volta na decomposição:
Passo 7
Agora, substituímos na integral:
Simplificando cada integral:
Resposta
Juntando tudo, a solução da integral é:
Onde
é a constante de integração.