Calcule as integrais.
(c) integral x^3-2 x^2-4x^3+2 x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício envolve o cálculo de integrais racionais, ou seja, integrais de funções que são quocientes de polinômios. Para resolver, vamos precisar usar a divisão de polinômios e a decomposição em frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração x^3-2x^2-4x^3+2x^2 = 1 + -4x^2-4x^3+2x^2 . Para isso, fazemos a divisão do polinômio do numerador pelo polinômio do denominador.
Dividindo integral x^3-2x^2-4x^3+2x^2 , dx = integral 1 , dx + integral -4x^2-4x^3+2x^2 , dx por :
Então, a integral fica:

Passo 3

Vamos simplificar ainda mais a segunda integral. Primeiro, fatoramos o denominador:
x^3 + 2x^2 = x^2(x + 2)
Então, a integral fica:
integral 1 , dx - 4 integral x^2 + 1x^2(x + 2) , dx

Passo 4

Agora, precisamos decompor a fração x^2 + 1x^2(x + 2) = Ax + Bx^2 + Cx + 2 em frações parciais. Assumimos que:
x^2 + 1 = A x (x + 2) + B (x + 2) + C x^2
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:

Passo 5

Agora, vamos encontrar os valores de 0 + 1 = 0 + 2B + 0 Rightarrow B = 12 , 4 + 1 = A(-2)(0) + B(0) + C(4) Rightarrow 5 = 4C Rightarrow C = 54 e 1 = A + C Rightarrow A = 1 - 54 = -14 . Para isso, escolhemos valores de que simplificam a equação.
  1. Para :
  2. Para :
  3. Comparando os coeficientes de :

Passo 6

Agora que temos x^2 + 1x^2(x + 2) = -14 cdot 1x + 12 cdot 1x^2 + 54 cdot 1x + 2 , e , substituímos de volta na decomposição:

Passo 7

Agora, substituímos na integral:
integral 1 , dx - 4 ( -14 integral 1x , dx + 12 integral 1x^2 , dx + 54 integral 1x + 2 , dx )
Simplificando cada integral:
integral 1 , dx = x
-14 integral 1x , dx = -14 ln|x|
12 integral 1x^2 , dx = 12 ( -1x ) = -12x
54 integral 1x + 2 , dx = 54 ln|x + 2|

Resposta

Juntando tudo, a solução da integral é:
x + ( -14 ln|x| - 12x + 54 ln|x + 2| ) + C
Onde é a constante de integração.

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