Determine se a integral é convergente ou divergente:
Passo 1
Beleza, vamos analisar essa integral aqui:
Esse exercício é sobre integrais impróprias, especificamente sobre descobrir se a integral converge (tem um valor finito) ou diverge (não tem um valor finito). Para resolver isso, vamos precisar usar o teste de comparação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o comportamento da função quando
fica muito grande, ou seja, quando
tende ao infinito. Observando a função:
Quando
é muito grande, o termo
no denominador domina, então a expressão se aproxima de:
Isso significa que para valores grandes de
, a função se comporta como
.
Passo 3
Agora, vamos usar o teste de comparação. Esse teste nos diz que se conseguimos comparar nossa função com outra função cuja integral conhecemos se converte ou diverge, podemos tirar conclusões sobre a nossa integral.
Sabemos que a integral:
é convergente. De fato, essa integral é igual a
(você pode calcular para ver).
Passo 4
Vamos comparar as duas funções:
Para
,
Portanto,
Isso significa que nossa função original é menor ou igual a
para
.
Passo 5
Como a integral de
de 1 a infinito é convergente e nossa função original é menor ou igual a ela nessa faixa, pelo teste de comparação, a nossa integral também converge.
Resposta
A integral
é convergente.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais.
Determine se a integral é convergente ou divergente:
Seja
a superfície do cubo, determinada pelos seis planos
e orientada para fora. Determine o fluxo
para cada um dos campos abaixo.
©
©
Suponha que você comece no ponto
e se mova 42 unidades ao longo da curva
na direção positiva de
. Onde você está agora?