Determine se a integral é convergente ou divergente:

Passo 1

Beleza, vamos analisar essa integral aqui:
Esse exercício é sobre integrais impróprias, especificamente sobre descobrir se a integral converge (tem um valor finito) ou diverge (não tem um valor finito). Para resolver isso, vamos precisar usar o teste de comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o comportamento da função quando fica muito grande, ou seja, quando tende ao infinito. Observando a função:
Quando é muito grande, o termo no denominador domina, então a expressão se aproxima de:
Isso significa que para valores grandes de , a função se comporta como .

Passo 3

Agora, vamos usar o teste de comparação. Esse teste nos diz que se conseguimos comparar nossa função com outra função cuja integral conhecemos se converte ou diverge, podemos tirar conclusões sobre a nossa integral.
Sabemos que a integral:
é convergente. De fato, essa integral é igual a (você pode calcular para ver).

Passo 4

Vamos comparar as duas funções:
Para ,
Portanto,
Isso significa que nossa função original é menor ou igual a para .

Passo 5

Como a integral de de 1 a infinito é convergente e nossa função original é menor ou igual a ela nessa faixa, pelo teste de comparação, a nossa integral também converge.

Resposta

A integral
é convergente.

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