Calcule as integrais iteradas. integral1^4 integral0^pi / 2 x sin y d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular uma integral iterada, especificamente . Vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, mais especificamente de integrais duplas e integrais iteradas.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a integral interna, que é a integral em relação a : . Nessa etapa, tratamos como uma constante porque estamos integrando em relação a .

Passo 3

Sabemos que a integral de integral x sin y , dy = -x cos y + C em relação a é . Então, a antiderivada de em relação a é:
onde é a constante de integração.

Passo 4

Agora, aplicamos os limites de integração para - x cos ( pi2 ) + x cos (0) = -x cdot 0 + x cdot 1 = x , que vão de a :
Portanto, a integral interna resulta em .

Passo 5

Com o resultado da integral interna, a integral iterada agora fica:
integral1^4 x , dx
Agora, vamos integrar em relação a .

Passo 6

A antiderivada de integral x , dx = 12 x^2 + C em relação a é . Então, temos:

Passo 7

Aplicamos os limites de integração para 12 (4)^2 - 12 (1)^2 = 12 cdot 16 - 12 cdot 1 = 8 - 0,5 = 7,5 , que vão de a :

Resposta

O valor da integral iterada é .

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