O que são as coordenadas polares na integração dupla? Em que situações elas são úteis? Defina-as e encontre o Jacobiano.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tá falando sobre coordenadas polares na integração dupla. Basicamente, vamos entender o que são essas coordenadas, quando elas são úteis, como defini-las e encontrar o Jacobiano, que é uma parte importante pra fazer a mudança de coordenadas.
Passo 2
Primeiro, o que são coordenadas polares? Diferente das coordenadas cartesianas (x e y), nas polares a gente usa a distância do ponto até a origem, que a gente chama de , e o ângulo que esse ponto forma com o eixo positivo x. É tipo se você fosse descrever um ponto pela distância e direção em vez de pela posição horizontal e vertical.
Passo 3
Agora, em que situações as coordenadas polares são úteis? Bem, elas são super práticas quando estamos lidando com figuras que têm simetria radial, como círculos, discos, ou problemas envolvendo ondas circulares. Nesses casos, fica muito mais fácil integrar porque as equações ficam mais simples na forma polar.
Passo 4
Vamos definir isso matematicamente. Em coordenadas polares, a relação entre , e , é dada por:
Aqui, é a distância do ponto até a origem e é o ângulo em radianos.
Passo 5
Agora, o Jacobiano é essencial pra mudança de variáveis na integração. Ele nos diz como a área muda quando a gente muda de coordenadas. Para as coordenadas polares, o Jacobiano é o determinante da matriz das derivadas parciais das novas coordenadas em relação às antigas. Calculando, temos:
Então, o Jacobiano é simplesmente .
Resposta
As coordenadas polares são um sistema onde cada ponto é definido pela distância até a origem e pelo ângulo em relação ao eixo x positivo. Elas são úteis principalmente em situações com simetria radial, como círculos e ondas circulares. A definição é e , e o Jacobiano para a mudança para coordenadas polares é .