Calcule as integrais. (Caso precise, consulte as dicas que estão após as respostas.)
Passo 1
Beleza, vamos calcular a integral
. Esse exercício envolve o conteúdo de cálculo integral, especificamente integração por substituição. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da expressão que podemos substituir para facilitar a integração. Observando o denominador, temos
. Vamos definir uma nova variável
como:
Isso nos ajuda a simplificar a expressão dentro da raiz cúbica.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir
na integral. Derivando
:
Passo 4
Vamos reescrever a integral original usando a substituição que fizemos. A integral fica:
Aqui,
foi substituído na expressão.
Passo 5
Simplificando a integral:
Dividimos a fração e simplificamos os expoentes.
Passo 6
Agora, integramos termo a termo:
Aqui, aplicamos a regra da potência para integrais, onde
.
Passo 7
Finalmente, substituímos
de volta para
:
Resposta
A integral é igual a
.