Calcule as integrais. (Caso precise, consulte as dicas que estão após as respostas.)

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral . Esse exercício envolve o conteúdo de cálculo integral, especificamente integração por substituição. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da expressão que podemos substituir para facilitar a integração. Observando o denominador, temos . Vamos definir uma nova variável como:
Isso nos ajuda a simplificar a expressão dentro da raiz cúbica.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir na integral. Derivando :

Passo 4

Vamos reescrever a integral original usando a substituição que fizemos. A integral fica:
Aqui, foi substituído na expressão.

Passo 5

Simplificando a integral:
Dividimos a fração e simplificamos os expoentes.

Passo 6

Agora, integramos termo a termo:
Aqui, aplicamos a regra da potência para integrais, onde .

Passo 7

Finalmente, substituímos de volta para :

Resposta

A integral é igual a .

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