Calcule as integrais. (Caso precise, consulte as dicas que estão após as respostas.)
integral x^3raiz[3]x^2+4 d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral integral x^3raiz[3]x^2+4 dx. Esse exercício envolve o conteúdo de cálculo integral, especificamente integração por substituição. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da expressão que podemos substituir para facilitar a integração. Observando o denominador, temos raiz[3]x^2+4. Vamos definir uma nova variável u como:
u = x^2 + 4
Isso nos ajuda a simplificar a expressão dentro da raiz cúbica.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir dx na integral. Derivando u:
dudx = 2x Rightarrow du = 2x , dx Rightarrow x , dx = du2

Passo 4

Vamos reescrever a integral original usando a substituição que fizemos. A integral fica:
integral x^3raiz[3]x^2+4 dx = integral x^2 cdot x , dxu^1/3 = integral (u - 4) cdot du2u^1/3
Aqui, x^2 = u - 4 foi substituído na expressão.

Passo 5

Simplificando a integral:
integral (u - 4)2 u^1/3 du = 12 integral ( u^2/3 - 4 u^-1/3 ) du
Dividimos a fração e simplificamos os expoentes.

Passo 6

Agora, integramos termo a termo:
12 ( integral u^2/3 du - 4 integral u^-1/3 du ) = 12 ( 35 u^5/3 - 4 cdot 32 u^2/3 ) + C = 310 u^5/3 - 62 u^2/3 + C = 310 u^5/3 - 3 u^2/3 + C
Aqui, aplicamos a regra da potência para integrais, onde integral u^n du = u^n+1n+1 + C.

Passo 7

Finalmente, substituímos u de volta para x:
310 (x^2 + 4)^5/3 - 3 (x^2 + 4)^2/3 + C

Resposta

A integral é igual a 310 (x^2 + 4)^5/3 - 3 (x^2 + 4)^2/3 + C.

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