Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial foi dada, em cada caso e indique com setas o sentido no qual o parâmetro cresce.
r(t) = <t^2, t, 2>

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para desenhar o gráfico da curva dada pela equação vetorial e indicar com setas a direção em que o parâmetro cresce. Isso está relacionado ao estudo de curvas no espaço tridimensional usando equações paramétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada componente da equação vetorial representa. A função nos dá as coordenadas , e em termos do parâmetro :

Passo 3

Observamos que o componente é sempre 2, independentemente do valor de . Isso significa que a curva está situada no plano , que é paralelo ao plano a uma altura constante no eixo .

Passo 4

Agora, analisamos as relações entre e . Temos e . Podemos eliminar o parâmetro para encontrar a relação entre e :
Isso nos mostra que a projeção da curva no plano é uma parábola com a abertura para a direita.

Passo 5

Para desenhar a curva completa, sabemos que ela está no plano e segue a forma da parábola . Então, a curva é uma parábola situada à altura no espaço 3D.

Passo 6

Quanto à direção do crescimento do parâmetro , quando aumenta, aumenta linearmente, e aumenta como o quadrado de . Portanto, a curva se desenvolve da esquerda para a direita na direção positiva de .

Resposta

A curva é uma parábola no plano com a equação , e ela se desenha da esquerda para a direita à medida que aumenta, indicado pelas setas na direção crescente.

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