Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial foi dada, em cada caso e indique com setas o sentido no qual o parâmetro cresce.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para desenhar o gráfico da curva dada pela equação vetorial
e indicar com setas a direção em que o parâmetro
cresce. Isso está relacionado ao estudo de curvas no espaço tridimensional usando equações paramétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada componente da equação vetorial representa. A função
nos dá as coordenadas
,
e
em termos do parâmetro
:
Passo 3
Observamos que o componente
é sempre 2, independentemente do valor de
. Isso significa que a curva está situada no plano
, que é paralelo ao plano
a uma altura constante no eixo
.
Passo 4
Agora, analisamos as relações entre
e
. Temos
e
. Podemos eliminar o parâmetro
para encontrar a relação entre
e
:
Isso nos mostra que a projeção da curva no plano
é uma parábola com a abertura para a direita.
Passo 5
Para desenhar a curva completa, sabemos que ela está no plano
e segue a forma da parábola
. Então, a curva é uma parábola situada à altura
no espaço 3D.
Passo 6
Quanto à direção do crescimento do parâmetro
, quando
aumenta,
aumenta linearmente, e
aumenta como o quadrado de
. Portanto, a curva se desenvolve da esquerda para a direita na direção positiva de
.
Resposta
A curva é uma parábola no plano
com a equação
, e ela se desenha da esquerda para a direita à medida que
aumenta, indicado pelas setas na direção crescente.