Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial foi dada, em cada caso e indique com setas o sentido no qual o parâmetro cresce.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para desenhar o gráfico da curva dada pela equação vetorial e indicar com setas a direção em que o parâmetro cresce. Isso está relacionado ao estudo de curvas no espaço tridimensional usando equações paramétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada componente da equação vetorial representa. A função nos dá as coordenadas , e em termos do parâmetro :

Passo 3

Observamos que o componente é sempre 2, independentemente do valor de . Isso significa que a curva está situada no plano , que é paralelo ao plano a uma altura constante no eixo .

Passo 4

Agora, analisamos as relações entre e . Temos e . Podemos eliminar o parâmetro para encontrar a relação entre e :
Isso nos mostra que a projeção da curva no plano é uma parábola com a abertura para a direita.

Passo 5

Para desenhar a curva completa, sabemos que ela está no plano e segue a forma da parábola . Então, a curva é uma parábola situada à altura no espaço 3D.

Passo 6

Quanto à direção do crescimento do parâmetro , quando aumenta, aumenta linearmente, e aumenta como o quadrado de . Portanto, a curva se desenvolve da esquerda para a direita na direção positiva de .

Resposta

A curva é uma parábola no plano com a equação , e ela se desenha da esquerda para a direita à medida que aumenta, indicado pelas setas na direção crescente.

Exercícios relacionados

Calcule as integrais. (Caso precise, consulte as dicas que estão após as respostas.)
Calcule as integrais. (Caso precise, consulte as dicas que estão após as respostas.)
Determine a derivada de cada função vetorial.
Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial foi dada, em cada caso e indique com setas o sentido no qual o parâmetro cresce.