Calcule as integrais. (Caso precise, consulte as dicas que estão após as respostas.)
integral-infty^pi2 sen(2 theta) d theta

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular a integral de de até . Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente sobre integrais impróprias, já que temos um limite infinito. Vamos precisar entender como lidar com integrais que vão até o infinito e verificar se elas realmente têm um valor definido.

Passo 2

Primeiro, como temos um limite inferior de lima to -infty integrala^pi2 sen(2 theta) , dtheta , vamos reescrever a integral como um limite. Isso significa que vamos calcular o limite conforme se aproxima de da integral de de até . Ou seja:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a antiderivada de integral sen(2 theta) , dtheta = -12 cos(2 theta) + C . Sabemos que a integral de é , onde é uma constante. Aqui, , então:

Passo 4

Vamos agora aplicar os limites na antiderivada encontrada. Substituindo [ -12 cos(2 theta) ]a^pi2 = -12 cos(2 cdot pi2) + 12 cos(2a) e -12 cos(pi) + 12 cos(2a) = -12 (-1) + 12 cos(2a) = 12 + 12 cos(2a) :
lima to -infty ( 12 + 12 cos(2a) )
Simplificando:
Agora, analisamos o limite quando :
Sabemos que oscila entre e para qualquer valor de , inclusive quando vai para o infinito negativo. Portanto, o limite não existe porque a expressão continua oscilando sem se estabilizar em um valor específico.

Resposta

A integral não converge.

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