Determine a derivada de cada função vetorial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente determinar a derivada de uma função vetorial. A função que a gente tem é . Então, vamos usar cálculo diferencial para achar como cada componente dessa função muda em relação a .

Passo 2

Primeiro, lembra que uma função vetorial como tem várias componentes (nesse caso, nas direções , e ). Para derivar , a gente vai derivar cada uma dessas componentes separadamente em relação a .

Passo 3

Vamos começar com a primeira componente: . Isso é uma constante, ou seja, não depende de . A derivada de uma constante é zero. Então:

Passo 4

Agora, a segunda componente: . Para derivar , a gente usa a regra básica da derivada:
Então, a derivada dessa componente fica:

Passo 5

Por último, a terceira componente: . A derivada de também é uma fórmula conhecida:
Então, a derivada dessa componente é:

Resposta

Juntando tudo, a derivada da função vetorial é:

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Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial foi dada, em cada caso e indique com setas o sentido no qual o parâmetro cresce.
Calcule as integrais. (Caso precise, consulte as dicas que estão após as respostas.)
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