Calcule as integrais. (Caso precise, consulte as dicas que estão após as respostas.)
integral-1^-2 10 x(x+1)^19 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Aqui, estamos lidando com uma integração definida que envolve uma função polinomial. Para resolver isso, vamos usar a técnica de substituição (também conhecida como mudança de variável), que simplifica a integral tornando-a mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para simplificar a integral. Observando , uma boa escolha é deixar . Isso porque o termo pode ser facilmente derivado.

Passo 3

Agora, vamos derivar du = ddx(x + 1) , dx = 1 , dx Rightarrow dx = du em relação a u = x + 1 Rightarrow x = u - 1 :
Também, expressamos em termos de :

Passo 4

Substituímos integral-1^-2 10 x(x+1)^19 , dx = integral-1^-2 10 (u - 1) u^19 , du e u = (-1) + 1 = 0 na integral original:
u = (-2) + 1 = -1
Mas precisamos ajustar os limites de integração para integral0^-1 10 (u - 1) u^19 , du . Quando :
E quando :
Então, a integral fica:

Passo 5

Antes de prosseguir, é mais fácil se os limites de integração estiverem em ordem crescente. Podemos trocar os limites e mudar o sinal da integral:
integral0^-1 10 (u - 1) u^19 , du = -integral-1^0 10 (u - 1) u^19 , du

Passo 6

Vamos agora expandir 10 (u - 1) u^19 = 10 u^20 - 10 u^19 :
- integral-1^0 (10 u^20 - 10 u^19) , du
Então, a integral se torna:

Passo 7

Integramos termo a termo:
integral u^n , du = u^n+1n+1 + C
Aplicando isso:
integral 10 u^20 , du = 10 cdot u^2121 = 1021 u^21
integral (-10) u^19 , du = -10 cdot u^2020 = -1020 u^20 = -12 u^20

Passo 8

Colocando tudo junto:
- [ 1021 u^21 - 12 u^20 ] g|-1^0

Passo 9

Agora, calculamos o valor nos limites de integração. Primeiro, para 1021 (0)^21 - 12 (0)^20 = 0 - 0 = 0 :
1021 (-1)^21 - 12 (-1)^20 = 1021 (-1) - 12 (1) = -1021 - 12
Depois, para :

Passo 10

Subtraindo os valores:
0 - ( -1021 - 12 ) = 1021 + 12
Para somar as frações, encontramos um denominador comum:
1021 + 12 = 2042 + 2142 = 4142
Considerando o sinal negativo da etapa anterior:
-4142 = -4142

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados