Calcule as integrais. (Caso precise, consulte as dicas que estão após as respostas.)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Aqui, estamos lidando com uma integração definida que envolve uma função polinomial. Para resolver isso, vamos usar a técnica de substituição (também conhecida como mudança de variável), que simplifica a integral tornando-a mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para simplificar a integral. Observando , uma boa escolha é deixar . Isso porque o termo pode ser facilmente derivado.

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a :
Também, expressamos em termos de :

Passo 4

Substituímos e na integral original:
Mas precisamos ajustar os limites de integração para . Quando :
E quando :
Então, a integral fica:

Passo 5

Antes de prosseguir, é mais fácil se os limites de integração estiverem em ordem crescente. Podemos trocar os limites e mudar o sinal da integral:

Passo 6

Vamos agora expandir :
Então, a integral se torna:

Passo 7

Integramos termo a termo:
Aplicando isso:

Passo 8

Colocando tudo junto:

Passo 9

Agora, calculamos o valor nos limites de integração. Primeiro, para :
Depois, para :

Passo 10

Subtraindo os valores:
Para somar as frações, encontramos um denominador comum:
Considerando o sinal negativo da etapa anterior:

Resposta

A integral é igual a .

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