Calcule as integrais. (Caso precise, consulte as dicas que estão após as respostas.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral: . Aqui, estamos lidando com uma integração definida que envolve uma função polinomial. Para resolver isso, vamos usar a técnica de substituição (também conhecida como mudança de variável), que simplifica a integral tornando-a mais fácil de calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para simplificar a integral. Observando , uma boa escolha é deixar . Isso porque o termo pode ser facilmente derivado.
Passo 3
Agora, vamos derivar em relação a :
Também, expressamos em termos de :
Passo 4
Substituímos e na integral original:
Mas precisamos ajustar os limites de integração para . Quando :
E quando :
Então, a integral fica:
Passo 5
Antes de prosseguir, é mais fácil se os limites de integração estiverem em ordem crescente. Podemos trocar os limites e mudar o sinal da integral:
Passo 6
Vamos agora expandir :
Então, a integral se torna:
Passo 7
Integramos termo a termo:
Aplicando isso:
Passo 8
Colocando tudo junto:
Passo 9
Agora, calculamos o valor nos limites de integração. Primeiro, para :
Depois, para :
Passo 10
Subtraindo os valores:
Para somar as frações, encontramos um denominador comum: