Calcule as integrais.
integral-7^-3 3(x+5)^8 d x

Passo 1

Beleza, a gente precisa calcular a integral definida de no intervalo de -7 a -3. Isso faz parte da matéria de cálculo integral, especificamente sobre integrais de funções polinomiais. Para resolver, vamos usar a regra de integração para potências de funções lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a integral de uma função da forma integral (x+a)^n dx = 1n+1 (x+a)^n+1 + C é dada por:
onde é a constante de integração.

Passo 3

No nosso caso, temos integral 3(x+5)^8 dx = 3 integral (x+5)^8 dx . Podemos tirar o 3 da integral para ficar mais fácil:
3 times 19 (x+5)^9 + C = 13 (x+5)^9 + C
Aplicando a fórmula que vimos:

Passo 4

Agora, vamos calcular o valor dessa antiderivada nos limites de -7 a -3:
13 (x+5)^9 |-7^-3 = 13 [(-3+5)^9 - (-7+5)^9]
Simplificando os números dentro dos parênteses:
= 13 [2^9 - (-2)^9]

Passo 5

Vamos calcular as potências:
2^9 = 512
(-2)^9 = -512
Substituindo de volta na expressão:
= 13 [512 - (-512)] = 13 [1024] = 10243

Resposta

A integral vale .

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