Calcule as integrais. (Caso precise, consulte as dicas que estão após as respostas.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral que é
. Aqui, estamos lidando com uma integral imprópria porque o limite superior é infinito. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de cálculo que envolvem limites.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que
pode ser reescrito como
. Isso facilita a aplicação da regra de potência para integrais.
Passo 3
A regra básica para integrar uma função do tipo
é aumentar o expoente em 1 e dividir pela nova potência. Ou seja,
, onde
é a constante de integração.
Passo 4
Aplicando essa regra à nossa função, temos:
Então, a antiderivada de
é
.
Passo 5
Agora, precisamos avaliar essa antiderivada no intervalo de 2 até infinito. Como temos um limite infinito, vamos substituir
por um limite
que tende ao infinito:
Passo 6
Vamos calcular cada parte:
-
quando tende ao infinito também tende ao infinito. -
Então, substituindo:
Resposta
A integral diverge para infinito, ou seja, não tem um valor finito.