Calcule as integrais. (Caso precise, consulte as dicas que estão após as respostas.)
integral2^infty 1raizx+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que é . Aqui, estamos lidando com uma integral imprópria porque o limite superior é infinito. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de cálculo que envolvem limites.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que pode ser reescrito como . Isso facilita a aplicação da regra de potência para integrais.

Passo 3

A regra básica para integrar uma função do tipo é aumentar o expoente em 1 e dividir pela nova potência. Ou seja, , onde é a constante de integração.

Passo 4

Aplicando essa regra à nossa função, temos:
integral (x+1)^-1/2 , dx = (x+1)^(-1/2)+1(-1/2)+1 + C = (x+1)^1/21/2 + C = 2raizx+1 + C
Então, a antiderivada de é .

Passo 5

Agora, precisamos avaliar essa antiderivada no intervalo de 2 até infinito. Como temos um limite infinito, vamos substituir limb to infty [2raizb+1 - 2raiz2+1] por um limite que tende ao infinito:

Passo 6

Vamos calcular cada parte:
  • limb to infty [2raizb+1 - 2raiz3] = infty - 2raiz3 = infty quando tende ao infinito também tende ao infinito.
Então, substituindo:

Resposta

A integral diverge para infinito, ou seja, não tem um valor finito.

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