Considere a integral definida
.
É correto afirmar que a integral acima representa a área da região
localizada entre o eixo
, o gráfico de
e as retas
e
? (Justifique e em seguida calcule a área de
).
É correto afirmar que a integral acima representa a área da região
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem uma integral definida:
. A pergunta é se essa integral representa a área da região
que tá entre o eixo
, o gráfico de
e as retas
e
. Além disso, a gente precisa justificar isso e calcular a área de
. Então, vamos usar cálculo integral para resolver esse problema.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a integral definida representa. No cálculo, uma integral definida entre dois limites
e
de uma função
geralmente representa a área sob o gráfico de
entre esses pontos. Assim,
nos dá essa área.
Passo 3
No nosso caso, a função é
, e os limites de integração são de
a
. Então, essa integral vai representar a área entre o gráfico de
, o eixo
e essas duas retas verticais em
e
.
Passo 4
Para justificar que a integral representa essa área, precisamos lembrar que
é positiva ou negativa nos intervalos considerados. Vamos verificar:
-
corresponde a e a . - No intervalo de
a , é negativa. - De
a , é positiva.
Então, a integral levará em conta essas áreas com sinal apropriado, mas para calcular a área total, vamos considerar o valor absoluto da função.
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral
.
Sabemos que a integral de
é
ou
. Então:
Passo 6
Aplicando os limites de integração:
Como
é uma função par,
, então:
Passo 7
Sabemos que:
Substituindo:
Passo 8
Simplificando:
Passo 9
Podemos simplificar mais usando propriedades dos logaritmos:
Passo 10
Então, a área da região
é:
Como área não pode ser negativa, consideramos o valor absoluto:
Resposta
A integral representa corretamente a área da região
, e essa área é aproximadamente
unidades quadradas.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais. (Caso precise, consulte as dicas que estão após as respostas.)
Considerando as integrais abaixo, assinale verdade ou falso, justificando cada resposta.
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo
, em cada caso.
e
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo
, em cada caso.
e
.