Considere a integral definida .
É correto afirmar que a integral acima representa a área da região localizada entre o eixo , o gráfico de e as retas e ? (Justifique e em seguida calcule a área de ).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem uma integral definida: . A pergunta é se essa integral representa a área da região que tá entre o eixo , o gráfico de e as retas e . Além disso, a gente precisa justificar isso e calcular a área de . Então, vamos usar cálculo integral para resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a integral definida representa. No cálculo, uma integral definida entre dois limites e de uma função geralmente representa a área sob o gráfico de entre esses pontos. Assim, nos dá essa área.

Passo 3

No nosso caso, a função é , e os limites de integração são de a . Então, essa integral vai representar a área entre o gráfico de , o eixo e essas duas retas verticais em e .

Passo 4

Para justificar que a integral representa essa área, precisamos lembrar que é positiva ou negativa nos intervalos considerados. Vamos verificar:
  • corresponde a e a .
  • No intervalo de a , é negativa.
  • De a , é positiva.
Então, a integral levará em conta essas áreas com sinal apropriado, mas para calcular a área total, vamos considerar o valor absoluto da função.

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral .
Sabemos que a integral de é ou . Então:

Passo 6

Aplicando os limites de integração:
Como é uma função par, , então:

Passo 7

Sabemos que:
Substituindo:

Passo 8

Simplificando:

Passo 9

Podemos simplificar mais usando propriedades dos logaritmos:

Passo 10

Então, a área da região é:
Á
Como área não pode ser negativa, consideramos o valor absoluto:
Á

Resposta

A integral representa corretamente a área da região , e essa área é aproximadamente unidades quadradas.

Exercícios relacionados

Calcule as integrais. (Caso precise, consulte as dicas que estão após as respostas.)
Considerando as integrais abaixo, assinale verdade ou falso, justificando cada resposta.
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo , em cada caso.
e
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo , em cada caso.
e .