Considere a integral definida integral-pi4^pi6 tg theta d theta.
É correto afirmar que a integral acima representa a área da região R localizada entre o eixo x, o gráfico de y=tg x e as retas x=-pi / 4 e x=pi / 6 ? (Justifique e em seguida calcule a área de R ).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem uma integral definida: . A pergunta é se essa integral representa a área da região que tá entre o eixo , o gráfico de e as retas e . Além disso, a gente precisa justificar isso e calcular a área de . Então, vamos usar cálculo integral para resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a integral definida representa. No cálculo, uma integral definida entre dois limites e de uma função geralmente representa a área sob o gráfico de entre esses pontos. Assim, nos dá essa área.

Passo 3

No nosso caso, a função é , e os limites de integração são de a . Então, essa integral vai representar a área entre o gráfico de , o eixo e essas duas retas verticais em e .

Passo 4

Para justificar que a integral representa essa área, precisamos lembrar que é positiva ou negativa nos intervalos considerados. Vamos verificar:
  • corresponde a e a .
  • No intervalo de a , é negativa.
  • De a , é positiva.
Então, a integral levará em conta essas áreas com sinal apropriado, mas para calcular a área total, vamos considerar o valor absoluto da função.

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral integral tan theta , dtheta = -ln |cos theta| + C .
Sabemos que a integral de é ou . Então:

Passo 6

Aplicando os limites de integração:
-ln |cos theta| |-pi4^pi6 = -ln ( cos pi6 ) + ln ( cos ( -pi4 ) )
Como = -ln ( cos pi6 ) + ln ( cos pi4 ) é uma função par, , então:

Passo 7

Sabemos que:
cos pi6 = raiz32 e cos pi4 = raiz22
Substituindo:
= -ln ( raiz32 ) + ln ( raiz22 )

Passo 8

Simplificando:
= ln ( raiz22 ) - ln ( raiz32 ) = ln ( raiz22raiz32 ) = ln ( raiz2raiz3 ) = ln ( raiz23 )

Passo 9

Podemos simplificar mais usando propriedades dos logaritmos:
ln ( raiz23 ) = 12 ln ( 23 )

Passo 10

Então, a área da região Área = 12 ln ( 23 ) approx 12 times (-0,4055) approx -0,2027 é:
Área approx 0,2027 Á
Como área não pode ser negativa, consideramos o valor absoluto:
Á

Resposta

A integral representa corretamente a área da região , e essa área é aproximadamente unidades quadradas.

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