Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo , em cada caso.
e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que resulta da rotação da área delimitada pelas curvas e em torno do eixo . Esse tipo de problema pertence ao estudo de Cálculo, mais especificamente ao cálculo de volumes por métodos de integração, como o método dos discos ou anéis (washers). Para resolver, vamos precisar identificar os pontos de interseção das curvas e aplicar a fórmula adequada para calcular o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar onde as duas curvas se intersectam. Para isso, igualamos as expressões das duas funções:
Resolvendo essa equação:
Então, as curvas se intersectam nos pontos e .

Passo 3

Agora que sabemos os limites de integração ( e ), vamos visualizar a região que será rotacionada. Como a rotação é em torno do eixo , usaremos o método dos anéis (washers). A fórmula para o volume nesse caso é:
onde é a função de maior valor (a curva de cima) e é a de menor valor (a curva de baixo) no intervalo de integração.

Passo 4

Identificando e :
  • (curva de cima)
  • (curva de baixo)
Então, substituindo na fórmula:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Subtraindo as duas:

Passo 6

Agora, a integral fica mais simples:

Passo 7

Vamos calcular a integral:
Aplicando os limites de -1 a 1:

Passo 8

Multiplicando pelo fator que ficou fora da integral:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Considere a integral definida .
É correto afirmar que a integral acima representa a área da região localizada entre o eixo , o gráfico de e as retas e ? (Justifique e em seguida calcule a área de ).
Calcule as integrais. (Caso precise, consulte as dicas que estão após as respostas.)
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo , em cada caso.
e .
Encontre o volume do sólido de revolução obtido pela rotação da região R limitada pelas curvas dadas em torno do eixo indicado:
R é limitada por e . Considere a rotação de R em torno do eixo .