Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo x, em cada caso.
y = x^2 + 1 e y = 3 - x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que resulta da rotação da área delimitada pelas curvas e em torno do eixo . Esse tipo de problema pertence ao estudo de Cálculo, mais especificamente ao cálculo de volumes por métodos de integração, como o método dos discos ou anéis (washers). Para resolver, vamos precisar identificar os pontos de interseção das curvas e aplicar a fórmula adequada para calcular o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar onde as duas curvas se intersectam. Para isso, igualamos as expressões das duas funções:
Resolvendo essa equação:
Então, as curvas se intersectam nos pontos e .

Passo 3

Agora que sabemos os limites de integração ( e ), vamos visualizar a região que será rotacionada. Como a rotação é em torno do eixo , usaremos o método dos anéis (washers). A fórmula para o volume nesse caso é:
onde é a função de maior valor (a curva de cima) e é a de menor valor (a curva de baixo) no intervalo de integração.

Passo 4

Identificando e :
  • (curva de cima)
  • (curva de baixo)
Então, substituindo na fórmula:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Subtraindo as duas:

Passo 6

Agora, a integral fica mais simples:

Passo 7

Vamos calcular a integral:
Aplicando os limites de -1 a 1:

Passo 8

Multiplicando pelo fator que ficou fora da integral:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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