Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo
, em cada caso.
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que resulta da rotação da área delimitada pelas curvas
e
em torno do eixo
. Esse tipo de problema pertence ao estudo de Cálculo, mais especificamente ao cálculo de volumes por métodos de integração, como o método dos discos ou anéis (washers). Para resolver, vamos precisar identificar os pontos de interseção das curvas e aplicar a fórmula adequada para calcular o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar onde as duas curvas se intersectam. Para isso, igualamos as expressões das duas funções:
Resolvendo essa equação:
Então, as curvas se intersectam nos pontos
e
.
Passo 3
Agora que sabemos os limites de integração (
e
), vamos visualizar a região que será rotacionada. Como a rotação é em torno do eixo
, usaremos o método dos anéis (washers). A fórmula para o volume
nesse caso é:
onde
é a função de maior valor (a curva de cima) e
é a de menor valor (a curva de baixo) no intervalo de integração.
Passo 4
Identificando
e
:
-
(curva de cima) -
(curva de baixo)
Então, substituindo na fórmula:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Subtraindo as duas:
Passo 6
Agora, a integral fica mais simples:
Passo 7
Vamos calcular a integral:
Aplicando os limites de -1 a 1:
Passo 8
Multiplicando pelo fator que ficou fora da integral:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Considere a integral definida
.
É correto afirmar que a integral acima representa a área da região localizada entre o eixo
, o gráfico de
e as retas
e
? (Justifique e em seguida calcule a área de
).
É correto afirmar que a integral acima representa a área da região
Calcule as integrais. (Caso precise, consulte as dicas que estão após as respostas.)
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo
, em cada caso.
e
.
Encontre o volume do sólido de revolução obtido pela rotação da região R limitada pelas curvas dadas em torno do eixo indicado:
R é limitada por e
. Considere a rotação de R em torno do eixo
.
R é limitada por