Calcule as integrais.
integralpi / 3^3 pi / 2 cos x(sen^3 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Esse exercício está na área de Cálculo, mais especificamente em Integração por Substituição. Vamos precisar usar a técnica de substituição para facilitar a resolução dessa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para simplificar. Observamos que temos multiplicando . Vamos escolher . Isso porque a derivada de é , que já está presente na integral.

Passo 3

Agora, calculamos a derivada de dudx = cos x Rightarrow du = cos x , dx em relação a :
Isso significa que é igual a , o que simplifica nossa integral.

Passo 4

Substituímos na integral original:
Agora, precisamos calcular os novos limites de integração substituindo integralpi / 3^3 pi / 2 cos x (sen^3 x) dx = integralu(pi / 3)^u(3 pi / 2) u^3 du em :

Passo 5

A integral agora fica:
integralraiz32^-1 u^3 du
Perceba que o limite superior é menor que o inferior. Podemos inverter os limites e mudar o sinal da integral:
-integral-1^raiz32 u^3 du

Passo 6

Agora, vamos calcular a antiderivada de integral u^3 du = u^44 + C :
-[ (raiz32)^44 - (-1)^44 ]
Aplicando os limites de integração:

Passo 7

Calculando cada termo:
(raiz32)^4 = (34)^2 = 916
(-1)^4 = 1
Substituindo de volta:
-[ 9164 - 14 ] = -[ 964 - 1664 ] = -( -764 ) = 764

Resposta

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