A função g(x)=9 x^3-1x-1 representa uma relação matemática. Determine o limite lim x 1 g(x).

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é a função e precisamos descobrir qual é o limite dessa função quando se aproxima de 1. Estamos lidando com limites de funções racionais, e para resolver isso, vamos precisar fatorar o numerador para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o numerador a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) . Perceba que isso é uma diferença de cubos, já que e . A fórmula para fatorar uma diferença de cubos é:
Aqui, e .

Passo 3

Aplicando a fórmula de diferença de cubos, temos:
9x^3 - 1 = (raiz[3]9x - 1)( (raiz[3]9x)^2 + raiz[3]9x cdot 1 + 1^2 )
Simplificando isso, obtemos:
9x^3 - 1 = ( raiz[3]9x - 1 )( 9^2/3x^2 + raiz[3]9x + 1 )
(Nota: Para simplificar os cálculos, poderíamos usar aproximações ou outro método de fatoração se necessário.)

Passo 4

Agora, vamos voltar à função original:
g(x) = 9x^3 - 1x - 1 = ( raiz[3]9x - 1 )( 9^2/3x^2 + raiz[3]9x + 1 )x - 1
Observando que quando se aproxima de 1, o denominador se aproxima de 0, então precisamos simplificar a fração. Se conseguirmos cancelar no numerador e denominador, poderemos substituir por 1 diretamente.

Passo 5

Após fatorar corretamente e simplificar a expressão, substituir limx to 1 g(x) = limx to 1 ( 9^2/3x^2 + raiz[3]9x + 1 ) = 9^2/3(1)^2 + raiz[3]9(1) + 1 = 9^2/3 + 9^1/3 + 1 por 1 nos termos restantes nos dará o valor do limite. Vamos fazer isso:
9^1/3 approx 2.0801 e 9^2/3 = (9^1/3)^2 approx 4.3275
Calculando os valores:
4.3275 + 2.0801 + 1 approx 7.4076
Somando tudo:

Resposta

O limite é aproximadamente 7,41.

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